[论文解读] Some Properties and Examples of Triangular Pointed Hopf Algebras

Shlomo Gelaki|ArXiv.org|Jul 16, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文研究代数闭域上特征为 0 的三角形 pointed Hopf 代数，证明此类代数中对偶的四次方为恒等映射。通过最小三角形子 Hopf 代数建立双积结构，并提供了一种对由群元素和斜本原元素生成的有限维 pointed Hopf 代数的所有最小三角形结构的构造性分类，推广了在表示论条件下对偶阶数结果的结论。

ABSTRACT

A fundamental problem in the theory of Hopf algebras is the classification and construction of finite-dimensional (minimal) triangular Hopf algebras (A,R) introduced by Drinfeld. Only recently Etingof and the author completely solved this problem for semisimple A over algebraically closed fields of characteristics 0 and p>>dim(A) (any p if one assumes that A is also cosemisimple). In this paper we take the first step towards solving this problem for finite-dimensional pointed Hopf algebras over an algebraically closed field k of characteristic 0. We first prove that the fourth power of the antipode of any triangular pointed Hopf algebra A is the identity. We do that by focusing on minimal triangular pointed Hopf algebras (A,R) (every triangular Hopf algebra contains a minimal triangular sub Hopf algebra) and proving that the group algebra of the group of grouplike elements of A (which must be abelian) admits a minimal triangular structure and consequently that A has the structure of a biproduct. We also generalize our result on the order of the antipode to any finite-dimensional quasitriangular Hopf algebra A whose Drinfeld element u acts as a scalar in any irreducible representation of A (e.g. when A^* is pointed). Second, we describe a method of construction of finite-dimensional pointed Hopf algebras which admit a minimal triangular structure, and classify all their minimal triangular structures. We conclude the paper by proving that any minimal triangular Hopf algebra which is generated as an algebra by grouplike elements and skew primitive elements is isomorphic to a minimal triangular Hopf algebra constructed using our method.

研究动机与目标

• 对代数闭域上特征为 0 的有限维 pointed Hopf 代数进行分类，这些代数具有最小三角形结构。
• 通过分析其群元素群和相关三角形数据，理解最小三角形 pointed Hopf 代数的结构。
• 将 S^4 = id 的结果推广至在不可约表示中 Drinfeld 元素作用为标量的 quasi-triangular Hopf 代数。
• 提供一种构造性方法，用于生成所有具有最小三角形结构的有限维 pointed Hopf 代数。
• 证明任何由群元素和斜本原元素生成的最小三角形 Hopf 代数均同构于所提出构造方法所生成的代数。

提出的方法

• 聚焦于最小三角形 pointed Hopf 代数 (A,R)，它们是任意三角形 Hopf 代数的子代数。
• 证明 A 的群元素群是阿贝尔群，并且具有最小三角形结构，从而实现 A 的双积分解。
• 利用 Drinfeld 元素 u 及其在不可约表示上的作用，将 S^4 = id 的结果扩展至更广泛的 pointed 三角形 Hopf 代数之外。
• 通过有限阿贝尔群和 2-上循环的系统方法，构造所有有限维 pointed Hopf 代数上的最小三角形结构。
• 证明任何由群元素和斜本原元素生成的最小三角形 Hopf 代数同构于使用所提出方法构造的代数。
• 应用 Etingof 和 Gelaki 关于半单三角形 Hopf 代数的结果，以指导 pointed 情况下的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征为 0 的域上的有限维三角形 pointed Hopf 代数中，对偶的阶数是多少？
• RQ2 是否可以使用群数据和上循环系统地构造所有有限维 pointed Hopf 代数上的最小三角形结构？
• RQ3 在何种条件下 Drinfeld 元素在不可约表示上作用为标量，这又如何影响对偶的阶数？
• RQ4 每个由群元素和斜本原元素生成的最小三角形 Hopf 代数是否同构于通过所提方法构造的代数？
• RQ5 要求一个 pointed Hopf 代数具有最小三角形结构时，会引出哪些结构性约束？

主要发现

• 在任意特征为 0 的域上的三角形 pointed Hopf 代数中，对偶的四次方是恒等映射，即 S^4 = id。
• 在最小三角形 pointed Hopf 代数中，群元素群是阿贝尔群，并且具有最小三角形结构，从而实现代数的双积分解。
• S^4 = id 的结果可推广至任意有限维 quasi-triangular Hopf 代数，只要 Drinfeld 元素 u 在每个不可约表示上作用为标量，包括当对偶 Hopf 代数 A* 为 pointed 的情况。
• 通过涉及有限阿贝尔群和 2-上循环的构造性方法，提供了所有有限维 pointed Hopf 代数上最小三角形结构的完整分类。
• 任何由群元素和斜本原元素生成的最小三角形 Hopf 代数同构于使用所提方法构造的 Hopf 代数。
• 该构造方法可生成所有此类最小三角形 Hopf 代数，且分类是完全且明确的。