[论文解读] Some Properties of Accretive Operators in Linear 2-Normed Spaces

Harikrishnan Panackal, K. T. Ravindran|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2017

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 3被引用 13

一句话总结

本文建立了线性2-赋范空间中增生算子与m-增生算子的基础性质，通过压缩映射原理证明了强增生算子方程的解的存在性。将Banach不动点定理推广至2-赋范空间框架，并表明在有界性与闭性条件下，强增生映射满足Tx = θ有解，且在值域刻画与预解收敛性方面具有应用价值。

ABSTRACT

In this paper we discuss some properties of resolvents of an accretive operator in linear 2-normed spaces, focusing on the concept of contraction mapping and the unique fixed point of contraction mappings in linear 2- normed spaces. Also, we establish the existence of solution of strong accretive operator equation in linear 2-normed spaces.

研究动机与目标

• 研究线性2-赋范空间中增生算子的预解与不动点性质。
• 将压缩映射与不动点理论推广至2-赋范空间框架。
• 在有界、闭的线性2-赋范空间子集中，建立强增生算子方程解的存在性。
• 在(I+T)满足满射性条件下，刻画强增生算子T的值域。

提出的方法

• 通过不等式‖x−y,z‖ ≤ ‖(x−y)+λ(Tx−Ty),z‖对所有λ>0和z∈X，定义线性2-赋范空间中的增生算子与m-增生算子。
• 引入预解算子Jₙ(x) = (I + n⁻¹T)⁻¹(x)与Yosida逼近Tₙ(x) = n(I − Jₙ)(x)。
• 证明预解(I+λT)⁻¹是非扩张的，且Tₙ满足Lipschitz连续性，常数为2n。
• 证明若T为强增生且(I+T)(E) ⊇ E，则(I+T)⁻¹为压缩映射。
• 利用序列收敛性与有界性，证明当n→∞时，Jₙx → x对闭有界集E的闭包中任意x∈cl(E)成立。
• 在2-赋范空间中应用广义Banach不动点定理，证明压缩映射存在唯一不动点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，线性2-赋范空间中的强增生算子T存在满足Tx = θ的解？
• RQ2 压缩映射原理能否推广至线性2-赋范空间？何种条件可保证迭代序列的收敛性？
• RQ3 预解(I+λT)⁻¹与Yosida逼近Tₙ在2-赋范空间中继承了哪些性质？
• RQ4 强增生算子T的值域与(I+T)在闭有界集上的满射性之间有何关系？

主要发现

• 对任意线性2-赋范空间中的增生算子T，预解(I+λT)⁻¹存在且为非扩张算子。
• Yosida逼近Tₙ满足对所有x,y,z∈X有‖Tₙx−Tₙy,z‖ ≤ 2n‖x−y,z‖。
• 对有界闭子集E，对所有x∈cl(E)，当n→∞时，预解Jₙx收敛于x。
• 在有界闭子集E上，线性2-赋范空间中的压缩映射T存在唯一不动点。
• 若T为强增生且(I+T)(E) ⊇ E，则方程Tx = θ在E中有解。
• 若T为强增生且(I+T)(E) = E，则T的值域恰好为E，即R(T) = E。