[论文解读] Some properties of Generalized Fibonacci difference bounded and $p$-absolutely convergent sequences

Anupam Das, Bipan Hazarika|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2016

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过广义斐波那契差分矩阵 $ \hat{F}(r,s) $ 引入了一种新的序列空间 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $，建立了其包含关系，计算了其 $ \alpha $-、$ \beta $- 和 $ \gamma $-对偶，刻画了矩阵变换，并证明了当 $ 1 < p < \infty $ 时，该空间具有 Banach-Saks 型 $ p $ 和弱不动点性质，其关键在于利用该空间与 $ \ell_p $ 的线性同构关系。主要贡献在于对由斐波那契矩阵导出的这一新型序列空间的几何与结构分析。

ABSTRACT

The main objective of this paper is to introduced a new sequence space $l_{p}(\hat{F}(r,s)),$ $ 1\leq p \leq \infty$ by using the band matrix $\hat{F}(r,s).$ We also establish a few inclusion relations concerning this space and determine its $α-,β-,γ-$duals. We also characterize some matrix classes on the space $l_{p}(\hat{F}(r,s))$ and examine some geometric properties of this space.

研究动机与目标

• 通过由广义斐波那契数导出的带状矩阵 $ \hat{F}(r,s) $ 定义一个新的序列空间 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $。
• 建立 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ 与经典序列空间之间的包含关系。
• 计算 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ 的 $ \alpha $-、$ \beta $- 和 $ \gamma $-对偶，以实现对矩阵变换的刻画。
• 研究当 $ 1 < p < \infty $ 时，$ l_p(\hat{F}(r,s)) $ 的几何性质，如 Banach-Saks 型 $ p $ 和弱不动点性质。

提出的方法

• 利用斐波那契数 $ f_n $ 定义广义斐波那契差分矩阵 $ \hat{F}(r,s) $，其中元素满足：当 $ k=n $ 时，$ f_{nk}(r,s) = s\frac{f_{n+1}}{f_n} $；当 $ k=n-1 $ 时，$ f_{nk}(r,s) = r\frac{f_n}{f_{n-1}} $；其余情况为零。
• 将序列空间 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ 定义为矩阵域 $ \ell_p^{\hat{F}(r,s)} = \{ x \in \omega : \hat{F}(r,s)x \in \ell_p \} $，确保其完备性与范数结构。
• 使用泛函分析中的标准技术，通过可求和条件与矩阵变换刻画，计算 $ \alpha $-、$ \beta $- 和 $ \gamma $-对偶。
• 通过比较 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ 与 $ \ell_p $、$ c_0 $ 和 $ \ell_\infty $ 等经典空间，利用矩阵 $ \hat{F}(r,s) $ 的性质，建立包含定理。
• 利用标准基 $ \{e^{(n)}\} $ 构造 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ 的 Schauder 基，证明其完备性与 Schauder 基性质。
• 利用 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ 与 $ \ell_p $ 之间的线性同构关系，结合已知的 Banach-Saks 型 $ p $ 与弱不动点性质结果，证明其几何性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 新定义的空间 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ 与经典序列空间（如 $ \ell_p $、$ c_0 $、$ \ell_\infty $）之间的包含关系是什么？
• RQ2 空间 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ 的 $ \alpha $-、$ \beta $- 和 $ \gamma $-对偶是什么？
• RQ3 哪些矩阵类将 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ 映射到其他序列空间，它们如何被刻画？
• RQ4 当 $ 1 < p < \infty $ 时，$ l_p(\hat{F}(r,s)) $ 是否具有 Banach-Saks 型 $ p $ 性质？
• RQ5 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ 是否具有弱不动点性质，其 García-Falset 系数 $ R(l_p(\hat{F}(r,s))) $ 的值是多少？

主要发现

• 空间 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ 是一个 Banach 空间，其范数由矩阵 $ \hat{F}(r,s) $ 导出，且与 $ \ell_p $ 线性同构，从而保持关键几何性质。
• 通过矩阵元素的可求和条件，完全刻画了 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ 的 $ \alpha $-、$ \beta $- 和 $ \gamma $-对偶。
• 当 $ 1 < p < \infty $ 时，空间 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ 具有 Banach-Saks 型 $ p $，即每个弱零序列都存在一个子序列，其 Cesàro 平均的增长速度至多为 $ (n+1)^{1/p} $。
• 空间 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ 满足弱不动点性质，因为 $ R(l_p(\hat{F}(r,s))) = 2^{1/p} < 2 $，这保证了非扩张映射的不动点存在性。
• $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ 的 Schauder 基为标准基 $ \{e^{(n)}\} $，且该空间是可分的与完备的。
• 包含关系表明：当 $ 1 \leq p < \infty $ 时，有 $ l_p(\hat{F}(r,s)) \subset \ell_p $；在 $ r $ 和 $ s $ 满足特定条件时，有 $ \ell_p \subset l_p(\hat{F}(r,s)) $。