[论文解读] Some properties of generalized local cohomology modules

Амир Мафи|ArXiv.org|Nov 6, 2005

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文研究了交换诺特环中广义局部上同调模 $ H_{\frak{a}}^t(M,N) $，在特定条件下建立了其有限性与阿廷性性质。证明了当 $ R $ 为局部环且 $ M \bigotimes_R N $ 具有有限长度时，$ H_{\frak{m}}^t(M,N) $ 具有有限长度，并满足不等式 $ l(H_{\frak{m}}^t(M,N)) \leq \sum_{i=0}^t l(\operatorname{Ext}_R^i(M, H_{\frak{m}}^{t-i}(N))) $，在某些情况下等式成立于 $ \operatorname{Ext}_R^t(M,N) $。此外，还证明了当 $ \dim(R/\frak{a}) = 0 $ 时，对所有 $ t \geq 0 $，$ H_{\frak{a}}^t(M,N) $ 为阿廷模，推广了关于阿廷性 $ \operatorname{Ext} $ 与局部上同调模的已知结果。

ABSTRACT

Let $R$ be a commutative Noetherian ring, $\fa$ an ideal of $R$, $M$ and $N$ be two finitely generated $R$-modules. Let $t$ be a positive integer. We prove that if $R$ is local with maximal ideal $\fm$ and $ M\otimes_R N$ is of finite length then $H_{\fm}^t(M,N)$ is of finite length for all $t\geq 0$ and $l_R(H_{\fm}^t (M,N))\leq \sum_{i=0}^t l_R(\Ext_R^i(M,H_{\fm}^{t-i}(N)))$. This yields, $l_R(H_{\fm}^t(M,N))=l_R(\Ext_R^t(M,N))$. Additionally, we show that $\Ext_R^i(R/{\fa},N)$ is Artinian for all $ i\leq t$ if and only if $H_{\fa}^i(M,N)$ is Artinian for all $i\leq t$. Moreover, we show that whenever $\dim (R/{\fa})=0$ then $H_{\fa}^t(M,N)$ is Artinian for all $t \geq 0$.

研究动机与目标

• 研究诺特环上有限生成模的广义局部上同调模 $ H_{\frak{a}}^t(M,N) $ 的有限性与阿廷性性质。
• 将关于局部上同调有限性与阿廷性行为的已知结果推广至广义情形。
• 在 $ M \otimes_R N $ 具有有限长度的条件下，利用谱序列方法建立 $ H_{\frak{m}}^t(M,N) $ 与 $ \operatorname{Ext}_R^t(M,N) $ 之间的比较。
• 将梅尔克松关于阿廷性广义局部上同调模的判别准则推广至任意有限生成模 $ M $ 的情形。

提出的方法

• 利用格罗滕迪克谱序列，通过滤子与分次商模的关系，将 $ H_{\frak{m}}^t(M,N) $ 与 $ \operatorname{Ext}_R^i(M, H_{\frak{m}}^{t-i}(N)) $ 关联起来。
• 应用谱序列 $ E_2^{p,q} = \operatorname{Ext}_R^p(M, H_{\frak{m}}^q(N)) \Rightarrow H_{\frak{m}}^{p+q}(M,N) $ 推导长度上界。
• 利用正合序列 $ 0 \to \phi^{i+1}H^t \to \phi^iH^t \to E_\infty^{i,t-i} \to 0 $ 分析 $ H_{\frak{m}}^t(M,N) $ 的结构。
• 通过谱序列与模滤子，建立 $ \operatorname{Ext}_R^i(R/\frak{a}, N) $ 与 $ H_{\frak{a}}^i(M,N) $ 的阿廷性性质之间的等价性。
• 证明当 $ \dim(R/\frak{a}) = 0 $ 时，对所有 $ t \geq 0 $，$ H_{\frak{a}}^t(M,N) $ 具有阿廷性，依赖于维数相关的有限性与谱序列收敛性。
• 比较 $ H_{\frak{m}}^t(M,N) $ 与 $ \operatorname{Ext}_R^t(M,N) $ 的滤子结构，在科恩-麦克aulay 假设下推导出同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ R $ 为局部环且 $ M \otimes_R N $ 具有有限长度时，广义局部上同调模 $ H_{\frak{m}}^t(M,N) $ 在何种条件下具有有限长度？
• RQ2 在何种结构条件下 $ H_{\frak{m}}^t(M,N) $ 与 $ \operatorname{Ext}_R^t(M,N) $ 相等？
• RQ3 对于有限生成模 $ M $，$ \operatorname{Ext}_R^i(R/\frak{a}, N) $ 的阿廷性与 $ H_{\frak{a}}^i(M,N) $ 的阿廷性之间存在何种关系？
• RQ4 如何影响 $ R/\frak{a} $ 的维数，使得对所有 $ t \geq 0 $，$ H_{\frak{a}}^t(M,N) $ 具有阿廷性？
• RQ5 梅尔克松关于阿廷性局部上同调的判别准则能否通过谱序列推广至广义局部上同调模？

主要发现

• 若 $ R $ 为局部环，其极大理想为 $ \frak{m} $，且 $ M \otimes_R N $ 具有有限长度，则通过谱序列滤子与阿廷商模分析，可得对所有 $ t \geq 0 $，$ H_{\frak{m}}^t(M,N) $ 具有有限长度。
• 长度上界为 $ \sum_{i=0}^t l(\operatorname{Ext}_R^i(M, H_{\frak{m}}^{t-i}(N))) $，在给定条件下等式成立。
• 当 $ N $ 为维数为 $ d $ 的科恩-麦克aulay 模时，由于谱序列中中间项的消失，有 $ H_{\frak{m}}^t(M,N) \cong \operatorname{Ext}_R^t(M,N) $。
• 对任意有限生成 $ R $-模 $ M $，若 $ \dim(R/\frak{a}) = 0 $，则对所有 $ t \geq 0 $，$ H_{\frak{a}}^t(M,N) $ 为阿廷模，推广了经典阿廷上同调结果。
• 通过谱序列与滤子论证，对所有 $ i \leq t $，$ \operatorname{Ext}_R^i(R/\frak{a}, N) $ 的阿廷性等价于对所有 $ i \leq t $ 与所有有限生成 $ M $，$ H_{\frak{a}}^i(M,N) $ 的阿廷性。
• 该结果推广了梅尔克松关于阿廷性局部上同调的定理至广义情形，表明对所有 $ i \leq t $，$ H_{\frak{a}}^i(M,N) $ 为阿廷模当且仅当对所有 $ i \leq t $，$ \operatorname{Ext}_R^i(R/\frak{a}, N) $ 为阿廷模。