[论文解读] Some properties of multivariate measures of concordance

M. D. Taylor|ArXiv.org|Aug 22, 2008

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文通过严格的公理化框架将二元相关性度量扩展至高维，推导出以边际相关性度量表示多元相关性的公式。主要贡献包括：提出一种将二元相关性推广至n维的一般方法；给出变量符号翻转下相关性的公式；以及建立奇数维与偶数维边际相关的联系。

ABSTRACT

We explore the consequences of a set of axioms which extend Scarsini's axioms for bivariate measures of concordance to the multivariate case and exhibit the following results: (1) A method of extending measures of concordance from the bivariate case to arbitrarily high dimensions. (2) A formula expressing the measure of concordance of the random vectors $(\pm X_1,...,\pm X_n)$ in terms of the measures of concordance of the "marginal" random vectors $(X_{i_1},...,X_{i_k})$. (3) A method of expressing the measure of concordance of an odd-dimensional copula in terms of the measures of concordance of its even-dimensional marginals. (4) A family of relations which exist between the measures of concordance of the marginals of a given copula.

研究动机与目标

• 将Scarsini的二元相关性公理体系推广至多元情形，建立一致的理论框架。
• 开发一种系统化的记号体系，用于追踪在符号翻转等变换下n-经验相关性的对称性与边际分布。
• 推导出在各种变换下，以边际相关性度量表达多元相关性的显式公式。
• 研究给定经验相关性中互补边际相关性度量之间的结构性关系，以及奇数/偶数维经验相关性之间的关系。
• 探讨当变量通过共同变量的符号翻转耦合时，维度增加下相关性的渐近行为。

提出的方法

• 采用并扩展文献[12]中的多元相关性公理体系，确保与二元相关性原则一致。
• 引入针对n-立方体对称性的专用记号，特别是通过变换$\sigma_S^*$处理符号翻转。
• 定义$\kappa_n(C)$为作用于n-经验相关性$C$的相关性度量，其中$\kappa_n(M) = 1$且$\kappa_n(\Pi) = 0$，分别对应最大相关性和独立性情形。
• 使用涉及索引子集$R$的求和递归公式，将$\kappa_n(\sigma_S^*(C))$表示为低维边际$\kappa_j(C_R)$的函数。
• 应用定理4推导$\kappa_n(\sigma_S^*(M))$的关键公式，其中涉及二项式系数与乘积$r_{n-k}$。
• 通过假设$r_n \to r$分析渐近行为，得出当$n \to \infty$时，$\kappa_n(\sigma_S^*(M)) \to (-1)^s(1 - r)^s$的极限表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何二元相关性度量是否都能一致地扩展为满足所提公理的多元相关性度量？
• RQ2 对于随机向量$(\epsilon_1 X_1, \dots, \epsilon_n X_n)$，其中$\epsilon_i = \pm 1$，其相关性度量与各边际分量的相关性度量之间有何关系？
• RQ3 给定经验相关性的互补边际相关性度量之间存在何种结构性关系？
• RQ4 奇数维经验相关性的相关性是否可完全用其偶数维边际的相关性度量表示？
• RQ5 当$s$个变量通过共同变量的符号翻转与其余变量负相关时，多元相关性在维度$n \to \infty$下的极限行为如何？

主要发现

• 建立了一般方法，可将任意二元相关性度量扩展至任意维度，同时保持公理体系的一致性。
• 对于具有$s$个负号的随机向量$(\epsilon_1 X_1, \dots, \epsilon_n X_n)$，相关性度量为$\kappa_n(\sigma_S^*(M)) = (-1)^s + \sum_{k=1}^s (-1)^{k+s} \binom{s}{k} r_{n-1} \cdots r_{n-k}$，表明其仅依赖于$n$和$s$。
• 当$r_n \to r$时，$\sigma_S^*(M)$的渐近相关性收敛于$(-1)^s(1 - r)^s$；当$r = 1$时，若$s > 0$，极限为0，表明在极限下无相关性。
• 任意奇数维经验相关性$C$的相关性可表示为其中偶数维边际相关性度量的函数。
• 在本文所用构造中，$r_{1+p} = \frac{2p}{2+p} \to 2$当$p \to \infty$，导致$\kappa_n(\sigma_S^*(M)) \to 1$，表明在此特定扩展下相关性持续增强。
• 本文识别出一类$m$次相关性度量，提示此类度量可能存在标准形式，扩展了对二元情形的先前研究。