[论文解读] Some properties of the group of regular birational maps

Julie Déserti|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 1

一句话总结

本文研究由 $ \mathbb{P}^n_\mathbb{C} $ 的标准对合与自同构生成的群 $ G_n(\mathbb{C}) $，证明其无非平凡的有限维线性表示，是完备群，并在 Zariski 拓扑下是单群。此外，还表明 $ \mathrm{Bir}(\mathbb{P}^n_\mathbb{C}) $ 的任意自同构在双有理共轭与域自同构意义下对 $ G_n(\mathbb{C}) $ 的作用是平凡的。

ABSTRACT

We give some properties of the subgroup $G_n(\mathbb{C})$ of the group of birational self-maps of $\mathbb{P}^n_\mathbb{C}$ generated by the standard involution and the group of automorphisms of $\mathbb{P}^n_\mathbb{C}$. We prove that there is no nontrivial finite-dimensional linear representation of $G_n(\mathbb{C})$. We also establish that $G_n(\mathbb{C})$ is perfect, and that $G_n(\mathbb{C})$ equipped with the Zariski topology is simple. Furthermore if $\varphi$ is an automorphism of $\mathrm{Bir}(\mathbb{P}^n_\mathbb{C})$, then up to birational conjugacy, and up to the action of a field automorphism $\varphi_{\vert G_n(\mathbb{C})}$ is trivial.

研究动机与目标

• 分析 $ \mathbb{P}^n_\mathbb{C} $ 的双有理自同态子群 $ G_n(\mathbb{C}) $ 的代数与拓扑结构。
• 确定 $ G_n(\mathbb{C}) $ 是否允许非平凡的有限维线性表示。
• 在 Zariski 拓扑下研究 $ G_n(\mathbb{C}) $ 的单性与完备性。
• 对完整双有理群 $ \mathrm{Bir}(\mathbb{P}^n_\mathbb{C}) $ 的自同构进行分类，重点关注其在 $ G_n(\mathbb{C}) $ 上的限制。

提出的方法

• 使用群论技巧分析由标准对合与 $ \mathrm{PGL}(n+1,\mathbb{C}) $ 生成的 $ G_n(\mathbb{C}) $ 的结构。
• 应用表示论证明 $ G_n(\mathbb{C}) $ 不存在非平凡的有限维线性表示。
• 通过证明其等于自身的换位子群，证明 $ G_n(\mathbb{C}) $ 是完备群。
• 使用 Zariski 拓扑进行拓扑分析，确立 $ G_n(\mathbb{C}) $ 是单群。
• 利用双有理共轭与域自同构对自同构在 $ G_n(\mathbb{C}) $ 上的作用进行分类。
• 将自同构问题约化为在双有理共轭与域自同构意义下的平凡性。

实验结果

研究问题

• RQ1 群 $ G_n(\mathbb{C}) $ 是否允许任何非平凡的有限维线性表示？
• RQ2 $ G_n(\mathbb{C}) $ 是否为完备群，即是否等于其自身的换位子群？
• RQ3 在赋予 Zariski 拓扑后，$ G_n(\mathbb{C}) $ 是否为单群？
• RQ4 在双有理共轭与域自同构意义下，$ \mathrm{Bir}(\mathbb{P}^n_\mathbb{C}) $ 的自同构如何作用于 $ G_n(\mathbb{C}) $？

主要发现

• 群 $ G_n(\mathbb{C}) $ 无非平凡的有限维线性表示。
• 群 $ G_n(\mathbb{C}) $ 是完备群，即等于其自身的换位子群。
• 赋予 Zariski 拓扑后，$ G_n(\mathbb{C}) $ 是单群。
• 任意 $ \mathrm{Bir}(\mathbb{P}^n_\mathbb{C}) $ 的自同构 $ \varphi $ 在 $ G_n(\mathbb{C}) $ 上的限制在双有理共轭与域自同构意义下是平凡的。
• $ G_n(\mathbb{C}) $ 的结构具有刚性，其自同构群受到高度约束。