[论文解读] Some quantitative results in $C^0$ symplectic geometry

Lev Buhovsky, Emmanuel Opshtein|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用 11

一句话总结

本文在 $\mathcal{C}^0$ 双有几何中建立了鲜明的二分性：尽管辛同胚可以灵活地形变余维数为4的辛子流形（以 $\mathcal{C}^0$-小的方式保持其辛结构），但对于余维数为2的子流形，它们则表现出刚性，必须保持如格罗莫夫宽度之类的辛容量。关键工具是一个关于辛圆盘的定量 $h$-原理，确保 $\mathcal{C}^0$-小的哈密顿流可以实现具有受控轨迹直径的辛同伦。

ABSTRACT

This paper studies the action of symplectic homeomorphisms on smooth submanifolds, with a main focus on the behaviour of symplectic homeomorphisms with respect to numerical invariants like capacities. Our main result is that a symplectic homeomorphism may preserve and squeeze codimension $4$ symplectic submanifolds ($C^0$-flexibility), while this is impossible for codimension $2$ symplectic submanifolds ($C^0$-rigidity). We also discuss $C^0$-invariants of coistropic and Lagrangian submanifolds, proving some rigidity results and formulating some conjectures. We finally formulate an Eliashberg-Gromov $C^0$-rigidity type question for submanifolds, which we solve in many cases. Our main technical tool is a quantitative $h$-principle result in symplectic geometry.

研究动机与目标

• 研究 $\mathcal{C}^0$ 拓扑下辛同胚在光滑子流形上的行为。
• 确定诸如容量之类的辛不变量是否在辛微分同胚的 $\mathcal{C}^0$ 极限下保持不变。
• 澄清 $\mathcal{C}^0$-刚性与 $\mathcal{C}^0$-灵活性在辛几何中的边界，特别是针对不同余维数的子流形。
• 提出并解决一个与伊莱亚谢伯格-格罗莫夫定理类似的 $\mathcal{C}^0$-刚性问题，针对子流形。
• 建立一个控制实现辛同伦的哈密顿流的 $\mathcal{C}^0$-大小的定量 $h$-原理。

提出的方法

• 发展关于辛圆盘的定量 $h$-原理，确保若两个辛圆盘在具有小轨迹直径的同伦下处于 $\mathcal{C}^0$-接近状态，则存在一个 $\mathcal{C}^0$-小的哈密顿流实现该同伦。
• 利用定量 $h$-原理，构造在余维数4的辛子流形（如多圆柱体）上表现为缩放恒等映射的辛同胚。
• 应用标准邻域定理，将局部灵活性结果推广至全局辛流形。
• 通过证明辛同胚保持非挤压性质来证明余维数2辛子流形的刚性，即对开子集 $U \subset N$，有 $c^Z(h(U)) \geq c_B(U)$。
• 利用局部模型和辛线性代数，将问题约化为同胚在切空间上的微分行为，表明其必须是辛或反辛的。

实验结果

研究问题

• RQ1 辛同胚能否在无法被辛微分同胚实现的方式下，保持一个光滑辛子流形的同时对其进行形变？
• RQ2 即使像为光滑且辛的，辛同胚在光滑子流形上的限制是否必然为辛映射？
• RQ3 辛容量（如格罗莫夫宽度或柱状容量）是否在辛微分同胚的 $\mathcal{C}^0$-极限下保持不变？
• RQ4 在 $\mathcal{C}^0$-辛灵活性向刚性转变的精确余维数阈值是什么？
• RQ5 若同伦的轨迹直径一致有界，则 $\mathcal{C}^0$-小的哈密顿流能否实现两个辛圆盘之间的辛同伦？

主要发现

• 辛同胚可在余维数4的辛子流形（如多圆柱体）上表现为 $\frac{1}{2}$-缩放，同时保持 $\mathcal{C}^0$-小，展示了 $\mathcal{C}^0$-灵活性。
• 对于余维数2的辛子流形，辛同胚的限制必须保持非挤压性质：若大小为 $a$ 的辛球被映射入大小为 $A$ 的柱体，则 $A \geq a$，即 $c^Z(h(U)) \geq c_B(U)$。
• 定量 $h$-原理确保：任何具有统一有界轨迹直径的两个圆盘之间的辛同伦，均可由一个 $\mathcal{C}^0$-小的哈密顿流实现，且该流的轨迹直径小于同伦直径的两倍。
• 辛同胚在共辛或拉格朗日子流形上的限制的微分必须是辛或反辛的，从而在线性层面上保持辛结构。
• 由定量 $h$-原理可推出子流形的 $\mathcal{C}^0$-刚性问题（类比于伊莱亚谢伯格-格罗莫夫定理）的正解，表明子流形上辛微分同胚的 $\mathcal{C}^0$-极限本身也是辛的。
• 本文证明了 $\mathcal{C}^0$-刚性在余维数4的辛子流形上不成立，而在余维数2子流形上成立，从而确立了精确的维度阈值。