[论文解读] Some quantitative results on Lipschitz inverse and implicit functions theorems

Phan Phien|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2012

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过显式地将可逆性邻域和逆映射的Lipschitz常数用某点处的广义雅可比矩阵表示，为Clarke的Lipschitz逆映射定理和隐函数定理提供了定量估计。研究证明，满足Clarke定理的映射类在小Lipschitz扰动下是开的，为优化和非线性分析中的应用提供了可构造的边界。

ABSTRACT

Let $ f: \mathbb{R} ^ n ightarrow \mathbb{R}^n $ be a Lipschitz mapping with generalized Jacobian at $x_0$, denoted by $\partial f(x_0)$, is of maximal rank. F. H. Clarke (1976) proved that $f$ is locally invertible. In this paper, we give some quantitative assessments for Clarke's theorem on the Lipschitz inverse, and prove that the class of such mappings are open. Moreover, we also present a quantitative form for Lipschitz implicit function theorem.

研究动机与目标

• 为Clarke逆映射定理中可逆性邻域和逆映射的Lipschitz常数提供显式的定量估计。
• 将这些估计扩展到Lipschitz隐函数定理的定量形式。
• 证明满足Clarke逆映射定理的映射类在小Lipschitz扰动下是开的。
• 在非光滑设定下，为逆映射和隐函数定理提供可构造、可计算的边界，弥补了以往定性结果的不足。

提出的方法

• 本文使用广义雅可比矩阵 ∂f(x₀) 来刻画Lipschitz映射 f: ℝⁿ → ℝⁿ 的局部可逆性。
• 通过应用矩阵范数不等式和可逆矩阵的扰动理论（基于定理2.2），推导出逆映射Lipschitz常数的边界。
• 通过 ∂f(x₀) 上逆范数的下确界和 f 的Lipschitz常数，显式估计了 x₀ 和 f(x₀) 的邻域 U 和 V。
• 通过将问题约化为具有广义雅可比矩阵的Lipschitz映射中的不动点论证，推导出定量隐函数定理。
• 通过证明 f 的小Lipschitz扰动不会破坏 ∂f(x₀) 的最大秩，从而证明满足Clarke定理的映射类是开的。
• 分析依赖于矩阵范数性质、次微分凸包和逆范数公式 ‖M⁻¹‖ = 1 / min‖x‖=1 ‖Mx‖。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定 ∂f(x₀)，Lipschitz映射 f 在局部可逆的邻域 U 和 V 的大小是否存在显式、可计算的边界？
• RQ2 能否从 ∂f(x₀) 定量估计逆映射的Lipschitz常数？
• RQ3 能否利用广义雅可比矩阵推导出Lipschitz隐函数定理的定量版本？
• RQ4 在何种条件下，满足Clarke逆映射定理的映射类在小Lipschitz扰动下保持开性？
• RQ5 当扰动的Lipschitz常数超过原映射的Lipschitz常数时，局部可逆性会发生什么变化？

主要发现

• 逆映射 g 的Lipschitz常数满足 L(g) = 1/δ，其中 δ = ½ inf_{M₀∈∂f(x₀)} 1/‖M₀⁻¹‖。
• x₀ 的邻域 U 估计为 Bⁿ_{(rδ)/(2(K′+L))}(x₀)，其中 r = 1，δ 定义如上。
• 像的邻域 V 为 f(x₀) + (rδ/2)Bⁿ，即 V = Bⁿ_{rδ/2}(f(x₀))。
• 满足Clarke定理的映射类是开的：若 f 被 h 扰动，且 sup_{H∈∂h(x₀)}‖H‖ < 1 / sup_{M₀∈∂f₀(x₀)}‖M₀⁻¹‖，则 f+h 仍保持局部可逆。
• 在 f₀(x,y) = (|x|+2x, |y|+2y) 的例子中，逆映射在 B²_{1/7}((0,0)) 上局部定义，且Lipschitz常数为1。
• 当扰动 h 的Lipschitz常数 L > K（K 为 f₀ 的下Lipschitz界）时，广义雅可比矩阵可能失去最大秩，局部可逆性失效。