[论文解读] Some questions about the index of quantized contact transformations

Alan Weinstein|ArXiv.org|Aug 5, 1998

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 24

一句话总结

该论文通过将接触流形上的CR结构与它们的Stein填充上的Dirac算子联系起来的粘合猜想，提出了一种通过拓扑公式计算量化接触变换的相对指标的方法。通过将Hardy空间（量子希尔伯特空间）的相对指标与粘合流形上Dirac算子的指标相关联，该方法将问题简化为指标理论中的已知结果，从而提供了一种利用Dirac算子粘合定理和Dolbeault复形计算指标的策略。

ABSTRACT

An index formula is proposed for contact transformations between contact manifolds equipped with CR structures or with fillings by symplectic manifolds. The formula generalizes the Atiyah-Singer formula and gives a conjectured formula for the index of Fourier integral operators, as well as Epstein's relative index for CR structures.

研究动机与目标

• 建立与接触流形余球丛之间接触微分同胚相关的傅里叶积分算子指标的拓扑公式。
• 将不同CR结构下量子希尔伯特空间（Hardy空间）的相对指标与粘合流形上Dirac算子的指标相关联。
• 通过在Stein填充上使用Dolbeault-Dirac算子，将指标问题简化为指标理论中的已知结果。
• 提出一种利用Calderón投影算子和边界值问题证明粘合猜想的策略。
• 研究在相对指标计算背景下，全纯与Dirac指标之间的相容性。

提出的方法

• 利用粘合猜想，将紧致接触流形Y上两个极化之间的相对指标识别为通过沿Y粘合两个Stein填充所形成的流形上Dirac算子的指标。
• 应用Bojarski-Booß-Bavnbek-Wojciechowski的Dirac算子粘合定理，要求Calderón投影算子的主符号匹配。
• 在Stein填充X₁和X₂的Dolbeault复形的偶部与奇部上构造Dirac算子D⁺ = ∂̄ + ∂̄*。
• 利用Y上复化切丛之间的同构，确保Dirac算子边界数据的相容性。
• 通过分析Cauchy数据空间及其投影，将Hardy空间的相对指标约化为Dirac算子的相对指标。
• 利用(0,2)调和形式在两个填充中贡献相等的性质，使其在相对指标计算中相互抵消。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以通过其Stein填充在边界上粘合的构造，拓扑地计算紧致接触流形上两个CR结构的相对指标？
• RQ2 与不同极化相关的量子希尔伯特空间（Hardy空间）的相对指标是否等于粘合流形上Dirac算子的指标？
• RQ3 两个Stein填充上全纯截面的相对指标是否等于其相应Dirac算子的相对指标？
• RQ4 方程∂̄u = 0的解的Cauchy数据空间与L²(Y)中的投影算子及其Fredholm性质有何关系？
• RQ5 全纯向量场或层论方法在多大程度上可以解决全纯端重叠区域中非拟同构的问题？

主要发现

• 两个极化在紧致接触流形上的相对指标被猜想等于通过沿边界粘合其Stein填充所形成的流形上Dirac算子的指标。
• 当Calderón投影算子的主符号匹配时，方程D⁺u = 0的解的Cauchy数据空间之间的正交投影是Fredholm算子。
• Booß-Bavnbek与Wojciechowski的粘合定理表明，具有同构边界数据的两个Dirac算子的相对指标等于粘合后Dirac算子的指标。
• 在复维数2时，Cauchy数据空间可分解为全纯函数与调和(0,2)-形式的贡献，后者在相对指标中相互抵消。
• 猜想认为，X₁与X₂上Dirac算子D⁺₁与D⁺₂的相对指标等于其全纯截面空间的相对指标。
• 在复维数2时，证据支持该猜想，因为调和(0,2)-形式的贡献独立于CR结构，因此在相对指标计算中相互抵消。