[论文解读] Some relations between the spectra of simple and non-backtracking random walks

Nalini Anantharaman|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2017

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 13被引用 11

一句话总结

本文建立了非正则图上简单随机游走与非回溯随机游走之间混合速率的定量关系，并引入了伊哈拉行列式公式的变体，该公式将邻接矩阵或拉普拉斯矩阵的特征多项式表示为带有全纯权重的非回溯转移算子的行列式。结果将已知的正则图上的恒等式推广至非正则情形，使更广泛的图类得以进行谱分析。

ABSTRACT

We establish some relations between the spectra of simple and non-backtracking random walks on non-regular graphs, generalizing some well-known facts for regular graphs. Our two main results are 1) a quantitative relation between the mixing rates of the simple random walk and of the non-backtracking random walk 2) a variant of the "Ihara determinant formula" which expresses the characteristic polynomial of the adjacency matrix, or of the laplacian, as the determinant of a certain non-backtracking random walk with holomorphic weights.

研究动机与目标

• 将已知的简单随机游走与非回溯随机游走在正则图上的谱关系推广至非正则图。
• 在非正则图上建立两种随机游走混合速率之间的定量联系。
• 通过非回溯转移算子中的全纯权重，将伊哈拉行列式公式推广至非正则图。
• 通过新颖的行列式恒等式，建立邻接矩阵/拉普拉斯矩阵与非回溯算子之间的谱桥梁。

提出的方法

• 使用定义在有向边上的非回溯转移算子 $\mathcal{B}$，其转移规则避免立即回溯。
• 引入与邻接矩阵预解式的相关全纯权重函数 $\zeta^z(x,y)$，实现谱参数化。
• 应用涉及预解式 $ (\mathcal{A} - zI)^{-1} $ 的共轭恒等式，通过 $m(x)$ 和 $\zeta(x,y)$ 的变换将其与非回溯算子 $\mathcal{B}$ 联系起来。
• 通过将有向边上的函数空间分解为投影算子 $\mathcal{P}$ 的像与核，并分析算子 $K$ 在这些子空间上的作用，推导出行列式恒等式。
• 利用恒等式 $ \det(\zeta^{-1}I - \mathcal{B}) \propto \det(\mathcal{A} - zI) $，其中包含涉及 $G(x,y)$ 的修正因子，将伊哈拉公式推广至非正则图。
• 采用谱分解与预解式技术，将 $\mathcal{S}$（非回溯游走）的特征值与方程 $ (I - u\mathcal{A} + u^2 Q)v = 0 $ 的解联系起来，而非 $\mathcal{A}$ 的特征向量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非正则图上，简单随机游走与非回溯随机游走的混合速率有何比较？
• RQ2 已知适用于正则图的伊哈拉行列式公式能否推广至非正则图？
• RQ3 在非正则设定下，邻接矩阵与非回溯转移算子之间的确切谱关系为何？
• RQ4 全纯权重如何用于通过非回溯算子表达邻接矩阵或拉普拉斯矩阵的特征多项式？

主要发现

• 在非正则图上，建立了简单随机游走 $P$ 与非回溯随机游走 $\mathcal{S}$ 之间混合速率的定量关系，推广了正则图上的已知结果。
• 证明了伊哈拉行列式公式的变体：$ \det(I^{|B|} - u\mathcal{B}) = (1 - u^2)^{r-1} \det(I^{|V|} - u\mathcal{A} + u^2 Q) $，适用于具有 $Q(x) = D(x) - 1$ 的有限非正则图。
• 表明邻接矩阵 $\mathcal{A}$ 的特征多项式与带有全纯系数的非回溯算子的行列式相关，关系为 $ \det(\zeta^{-1}I - \mathcal{B}) \propto \det(\mathcal{A} - zI) $，其中包含涉及 $G(x,y)$ 的修正因子。
• 非回溯游走 $\mathcal{S}$ 的谱间隙通过考虑 $\mathcal{S}$ 的非正则性与非自伴性，与简单游走 $P$ 的谱间隙相联系。
• 算子 $K = (2m_2)^{-1}(\iota\zeta - I)$ 被用于将非回溯算子与邻接矩阵联系起来，其行列式被显式计算为 $ \prod_{e=\{x,y\}} (-G(x,y)) $。
• 该方法揭示了 $\mathcal{S}$ 的特征值与方程 $ (I - u\mathcal{A} + u^2 Q)v = 0 $ 的解相关，而这些解并非 $\mathcal{A}$ 的特征向量，表明存在非平凡的谱对应关系。