[论文解读] Some remarks on absolutely summing multilinear operators

A. Thiago Lopes Bernardino, Daniel Pellegrino|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2011

Advanced Banach Space Theory参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文通过证明Pietsch的复合定理在多线性和多项式情形下自然成立，填补了近期关于多线性绝对求和算子研究中的一个空白，这一事实此前被文献所忽视。关键贡献在于提出一个新的包含关系结果：若某一因子空间具有cotype 2，则绝对$(s;s,t,...,t)$-求和算子也是绝对$(p;p,t,...,t)$-求和算子，其中$1 \leq p \leq s \leq 2$，该结果推广了早期结果，并为Popa提出的问题提供了部分解决方案。

ABSTRACT

This short note has a twofold purpose: (i) to solve the question that motivates a recent paper of D. Popa on multilinear variants of Pietsch's composition theorem for absolutely summing operators. More precisely, we remark that there is a natural perfect extension of Pietsch's composition theorem to the multilinear and polynomial settings. This fact was overlooked in the aforementioned paper; (ii) to investigate extensions of some results of the aforementioned paper for particular situations, mainly by exploring cotype properties of the spaces involved.

研究动机与目标

• 解决D. Popa近期论文中关于Pietsch复合定理多线性推广的一个关键疏漏。
• 建立Pietsch复合定理的自然多线性推广，证明当条件比以往已知更广泛时，$\Pi_q \circ \delta_p^n \subset \Pi_r^n$ 成立。
• 研究巴拿赫空间的cotype性质如何影响绝对求和多线性算子之间包含关系。
• 通过一个简单但被忽视的观察，即当$r \leq p$时，$\delta_p^n \subset \Pi_r^n$，为Popa论文中的问题1.4提供部分解决方案。

提出的方法

• 利用Blasco等人关于cotype与弱可求和序列的最新结果，推导多线性算子的包含定理。
• 应用弱$\ell_p$-可求和性与cotype之间的对偶性，利用当$X$具有cotype $s$且$1/p = 1/r + 1/q$（其中$p < s^*$）时，有$\ell_p^w(X) = \ell_r \ell_q^w(X)$的事实。
• 利用$q$-支配算子的刻画$\delta_q^n = \Pi_{q/n; q}^n$，将不同类别的多线性算子联系起来。
• 应用包含关系$\delta_p^n \subset \Pi_r^n$（当$r \leq p$时），推导出对问题1.4的部分解，该解在$n \geq p/r$时成立。
• 结合cotype 2空间的已知结果（例如，当$r \leq 2$时，有$\Pi_2^{\text{mult},n} = \Pi_r^{\text{mult},n}$）与复合定理，强化包含链。
• 利用$\ell_p^w(X)$与$\ell_q^w(X^*)$之间的对偶性，分析多线性算子在与绝对求和线性映射复合时的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 Pietsch的绝对求和算子复合定理是否如相关类结构所示，自然地推广到多线性和多项式情形？
• RQ2 在何种cotype条件下，当$1 \leq p \leq s \leq 2$时，包含关系$\Pi_{(s;s,t,...,t)}^n \subset \Pi_{(p;p,t,...,t)}^n$ 成立？
• RQ3 是否可以建立$\Pi_q \circ \delta_p^n \subset \Pi_r^n$（当$r > 2$时），若可以，对哪些$n$值成立？
• RQ4 是否存在一个简单但被忽视的论证，能够解决Popa论文中的问题1.4，特别是当$n \geq p/r$时？
• RQ5 空间$X_j$的cotype性质如何影响多重求和与绝对求和多线性算子之间的关系？

主要发现

• 若$X_1$具有cotype 2，且$1 \leq p \leq s \leq 2$，则从$X_1 \times \cdots \times X_n$到$Z$的任意绝对$(s;s,t,...,t)$-求和多线性算子，对所有$t \geq 1$及所有$X_2, \dots, X_n, Z$，也是绝对$(p;p,t,...,t)$-求和的。
• 特别地，在相同假设下，任意绝对$(s;s,\dots,s)$-求和多线性算子也是绝对$(p;p,\dots,p)$-求和的。
• 当任意$j \neq 1$时$X_j$具有cotype 2时，类似结果成立，推广了Junek、Botelho和Popa的结果。
• 若$X_1$具有cotype $s > 2$，且$1 \leq p \leq q < s^*$，则对所有$t \geq 1$，有$\Pi_{(q;q,t,...,t)}^n \subset \Pi_{(p;p,t,...,t)}^n$，将包含关系推广至更高cotype空间。
• 一个简单论证表明，当$r \leq p$时，有$\delta_p^n \subset \Pi_r^n$，这意味着对所有$n \geq p/r$，有$\Pi_q \circ \delta_p^n \subset \Pi_r^n$，从而为问题1.4提供部分解。
• 当某个$j$使得$X_j$具有cotype 2，且$Y$也具有cotype 2时，则对所有$q \in [1,\infty)$和$r \in [1,2]$，有$\Pi_q(Y;Z) \circ \bigcup_{p \geq 1} \delta_p^n(X_1,\dots,X_n;Y) \subset \Pi_r^n(X_1,\dots,X_n;Z)$，从而强化了已知的包含链。