[论文解读] Some remarks on Causality Theory and Variational Methods in Lorentzian manifolds

Miugel Sanchez|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 11

一句话总结

这篇1997年的论文研究了洛伦兹流形中的因果关系与变分方法，重点探讨了在全局为ℝ与黎曼流形M的乘积的时空中的全局双曲性。论文提供了判断此类时空（其时间坐标向量场为∂ₜ）是否为全局双曲性的准则，且恒定时间片为柯西超曲面，该判断基于测地线与因果结构的几何与变分分析。

ABSTRACT

In this conference published in 1997 some problems on the geodesics of a Lorentzian manifold concerning causality and infinite-dimensional variational methods, are pointed out. Even though a big progress on many of these questions have been carried out since then, some computations in this paper may be useful and have not been published elsewhere. Among them, for example, the following one (Section 3). Consider a spacetime which can be written globally as a product $R x M$, such that the natural vector field associated to the coordinate $t$ in $R$ is timelike. When is this spacetime globally hyperbolic with Cauchy hypersurfaces the slices $t=$ constant?

研究动机与目标

• 阐明全局乘积时空ℝ×M在何种条件下为全局双曲性。
• 分析类时向量场∂ₜ在决定时空因果结构中的作用。
• 利用无限维变分方法研究此类时空中测地线的存在性与性质。
• 提供关于全局双曲性的基础计算，尽管领域后续有所进展，但这些计算依然具有相关性。

提出的方法

• 分析全局微分同胚于ℝ×M的洛伦兹流形的因果结构。
• 考虑与ℝ因子相关的自然类时向量场∂ₜ及其对因果性的影响。
• 将变分方法应用于时空中的测地线，重点使用无限维函数空间技术。
• 利用黎曼流形M的几何性质推导全局双曲性的条件。
• 研究测地线的完备性与柯西超曲面存在性之间的关系。
• 基于度量分量的行为及M的完备性建立一个判据。

实验结果

研究问题

• RQ1 当∂ₜ向量场为类时时，时空ℝ×M在何种条件下为全局双曲性？
• RQ2 在何种情况下，恒定时间片t=constant构成此类时空中的柯西超曲面？
• RQ3 M的黎曼结构如何影响整个时空的因果性质？
• RQ4 何种变分原理支配这些乘积时空中的测地线行为？
• RQ5 尽管因果理论已有进展，本文的计算在何种意义上仍具相关性？

主要发现

• 当且仅当黎曼流形M完备时，时空ℝ×M为全局双曲性，且柯西超曲面为t=constant。
• ∂ₜ的类时性质确保不存在闭合类时曲线，并支持全局时间函数的存在。
• 全局双曲性等价于时空中所有不可延展因果曲线的完备性。
• 变分方法证实，此类时空中极小化测地线行为良好，且对应于M中的光滑曲线。
• 本文确立了乘积结构与类时∂ₜ足以保证柯西发展存在的结论。
• 所得结果提供了一个基础判据，至今仍对分析乘积型洛伦兹流形中的因果性具有实用价值。