[论文解读] Some remarks on diophantine equations and diophantine approximation

Claude Lévesque, Michel Waldschmidt|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文建立了丢番图逼近中的有限性结果、代数曲线上的整点以及数域上广义单位方程解之间的深刻等价关系。证明了三次情形的Thue–Mahler定理蕴含所有次数≥3的一般结果，并通过S-单位方程和射影几何将这些结果与Siegel定理及Schmidt的子空间定理联系起来。

ABSTRACT

We first recall the connection, going back to A. Thue, between rational approximation to algebraic numbers and integer solutions of some Diophantine equations. Next we recall the equivalence between several finiteness results on various Diophantine equations. We also give many equivalent statements of Mahler's generalization of the fundamental theorem of Thue. In particular, we show that the theorem of Thue--Mahler for degree $3$ implies the theorem of Thue--Mahler for arbitrary degree $\ge3$, and we relate it with a theorem of Siegel on the rational integral points of the projective line $¶^1(K)$ minus $3$ points. Finally we extend our study to higher dimensional spaces in connection with Schmidt's Subspace Theorem.

研究动机与目标

• 统一并阐明丢番图逼近中的有限性结果、曲线上的整点以及单位方程解之间的等价性。
• 证明Thue–Mahler在三次情形的结果可推出所有次数≥3的一般情形。
• 将这些有限性陈述与P¹上去掉三个点的整点的Siegel定理联系起来。
• 通过Schmidt的子空间定理将框架推广至高维空间。
• 系统性地建立涉及S-单位方程与射影空间中整点的陈述之间的等价性。

提出的方法

• 通过Thue原始定理，建立代数数的有理逼近与齐次丢番图方程整解有限性之间的等价关系。
• 利用二元型F(x,y)与有理逼近p/q之间的变换，将丢番图逼近与整点有限性联系起来。
• 在射影空间去掉超平面的特殊情形下应用子空间定理和Vojta猜想，以推广S-单位方程。
• 引入将S-单位集S扩展为S'的方法，以确保广义S-单位方程中子和不为零。
• 使用射影坐标和齐次多项式，将问题从Pⁿ约化至低维空间，同时保持整性条件。
• 采用归纳法与约化技巧，证明高维n的有限性蕴含低维n的有限性，特别是n=2的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 Thue–Mahler在三次情形的定理是否蕴含所有次数d≥3的一般结果？
• RQ2 Thue曲线、Mordell曲线及超椭圆曲线上整点的有限性与丢番图逼近有何关联？
• RQ3 Siegel定理在P¹上去掉三个点的情形与广义S-单位方程之间的确切联系是什么？
• RQ4 n+1个变量的S-单位方程解的有限性是否可约化为低维情形？
• RQ5 Schmidt的子空间定理在具有超平面构型的高维射影空间中如何推广？

主要发现

• Thue–Mahler在三次情形的定理蕴含所有次数d≥3的一般结果。
• Thue曲线上整点的有限性等价于代数数的有理逼近优于Liouville界。
• 在n+1个变量中，广义S-单位方程有有限多组解，当且仅当对应的射影空间去掉超平面后有有限多组S-整点。
• 在n≥3时，满足1−ε∈O_S^×的S-单位ε的集合是有限的，由此可推出n=2的情形。
• 若S-单位方程在n个变量中的有限性成立，则通过约化至低维射影空间，可推出其在n−t个变量中的结果。
• 通过将S的集合扩展为S′，可确保广义S-单位方程中适当子和不为零，从而避免可除性问题。