[论文解读] Some remarks on discrete and semi-discrete transparent boundary conditions for solving the time-dependent Schrödinger equation on the half-axis

Alexander Zlotnik, Ilya Zlotnik|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2014

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文首次对半无限轴上时间依赖的薛定谔方程使用有限差分格式求解时，提出了对离散与半离散透明边界条件（TBCs）的新型分析。首次证明了离散TBC卷积核与半离散TBC卷积核之间差值的上界，表明用半离散TBC替代离散TBC可产生极小的绝对误差，尤其在使用改进的半离散TBC（ISDTBC）时，数值解在 $L^2$-范数下的差异小于 $4.42\cdot10^{-5}$。

ABSTRACT

We consider the generalized time-dependent Schrödinger equation on the half-axis and a broad family of finite-difference schemes with the discrete transparent boundary conditions (TBCs) to solve it. We first rewrite the discrete TBCs in a simplified form explicit in space step $h$. Next, for a selected scheme of the family, we discover that the discrete convolution in time in the discrete TBC does not depend on $h$ and, moreover, it coincides with the corresponding convolution in the semi-discrete TBC rewritten similarly. This allows us to prove the bound for the difference between the kernels of the discrete convolutions in the discrete and semi-discrete TBCs (for the first time). Numerical experiments on replacing the discrete TBC convolutions by the semi-discrete one exhibit truly small absolute errors though not relative ones in general. The suitable discretization in space of the semi-discrete TBC for the higher-order Numerov scheme is also discussed.

研究动机与目标

• 分析在半无限轴上求解时间依赖的薛定谔方程时，离散与半离散透明边界条件（TBCs）之间的关系。
• 通过空间步长 $h$ 显式表达，简化离散TBCs。
• 研究在特定格式下，TBC中的离散卷积是否与 $h$ 无关，并与半离散对应物一致。
• 从绝对误差与相对误差的角度，评估用半离散TBC替代离散TBC的数值性能。
• 提出并分析适用于高阶Numerov格式的半离散TBC的合适空间离散化方法。

提出的方法

• 将离散TBCs重写为依赖于空间步长 $h$ 的简化显式形式。
• 在该族格式中识别出特定方案（$ less \theta = \frac{1}{12}$），其时间离散卷积与 $h$ 无关，且与半离散TBC卷积完全一致。
• 首次证明离散与半离散TBC卷积核之间差值的理论上界。
• 通过数值实验，比较离散TBCs、半离散TBCs以及改进的半离散TBC（ISDTBC）在 $L^2$ 与 $C$-范数误差方面的表现。
• 采用包含空间平均参数 $\theta$ 的二层对称有限差分格式族（Crank-Nicolson型）。
• 应用行方法推导半离散TBCs，并对其空间离散化以构造适用于高阶格式的ISDTBCs。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所选格式，离散TBC中的时间离散卷积是否保持与空间步长 $h$ 无关？
• RQ2 是否能以半离散TBC卷积核的形式对离散TBC卷积核进行有界控制？
• RQ3 使用离散TBCs与半离散TBCs求得的数值解在绝对误差与相对误差方面有何差异？
• RQ4 使用改进的半离散TBC（ISDTBC）对精度与计算成本有何影响？
• RQ5 高阶Numerov格式能否与经过适当离散化的半离散TBC有效耦合？

主要发现

• 对于 $\theta = \frac{1}{12}$ 的格式，离散TBC卷积与 $h$ 无关，且精确匹配半离散TBC卷积，从而首次实现了对两者卷积核差值的理论界。
• 数值实验表明，用半离散TBC替代离散TBC可产生极小的绝对误差，解之间 $L^2$-范数的最大差异小于 $4.42 \cdot 10^{-5}$，$C$-范数差异小于 $8.87 \cdot 10^{-5}$。
• 改进的半离散TBC（ISDTBC）显著降低了相对误差，尤其在 $C$-范数下表现更优，使得 $\theta = \frac{1}{12}$ 格式在所有测试配置中精度最高。
• 当 $\theta = \frac{1}{12}$ 且 $J=3200$ 时，离散与ISDTBC情况下的绝对误差收敛阶数均接近 2，而标准半离散TBC情况下的相对误差在中等 $M$ 值后趋于平缓，表明收敛性提升有限。
• 算法运行时间近似与 $M$ 成正比，且TBC核的计算成本与求解线性系统相比可忽略不计，表明ISDTBC方法具有计算高效性。
• 使用ISDTBC的数值解彼此之间极为接近，远胜于与精确解的接近程度，证实了在正确实现下，半离散方法具有极高的保真度。