[论文解读] Some remarks on filtered polynomial interpolation at Chebyshev nodes

Donatella Occorsio, Woula Themistoclakis|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2021

Mathematical functions and polynomials参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文提出了一种在切比雪夫节点上的滤波德·拉·瓦莱·普辛（VP）插值方法，结合了插值、多项式保真性以及Lebesgue常数的统一有界性，显著减少了吉布斯现象。该文建立了VP逼近算子在Sobolev空间和Hölder–Zygmund空间中的统一有界性，并提供了函数及其导数同时逼近的误差估计，从而实现了积分微分方程的稳定数值解法。

ABSTRACT

The present paper concerns filtered de la Vallée Poussin (VP) interpolation at the Chebyshev nodes of the four kinds. This approximation model is interesting for applications because it combines the advantages of the classical Lagrange polynomial approximation (interpolation and polynomial preserving) with the ones of filtered approximation (uniform boundedness of the Lebesgue constants and reduction of the Gibbs phenomenon). Here we focus on some additional features that are useful in the applications of filtered VP interpolation. In particular, we analyze the simultaneous approximation provided by the derivatives of the VP interpolation polynomials. Moreover, we state the uniform boundedness of VP approximation operators in some Sobolev and Hölder--Zygmund spaces where several integro--differential models are uniquely and stably solvable.

研究动机与目标

• 开发一种结合拉格朗日插值与滤波逼近优势的稳定插值逼近方法。
• 分析使用VP滤波插值算子对函数及其导数进行同时逼近的性能。
• 在Sobolev空间和Hölder–Zygmund空间中建立VP投影算子的统一有界性，以实现积分微分方程的稳定求解。
• 基于离散傅里叶变换，为一元和二元VP插值构建高效的快速计算算法。
• 通过数值实验确定最优滤波作用参数（m）

提出的方法

• 该方法在傅里叶–切比雪夫部分和上应用德·拉·瓦莱·普辛滤波，并通过高斯–切比雪夫求积进行离散化，以保持在切比雪夫节点上的插值性质。
• 通过张量积方法引入二元扩展，保持插值与逼近性质。
• 逼近算子 $ V_n^m f $ 定义为次数不超过 $ n + m - 1 $ 的多项式，且在四类切比雪夫节点上插值函数 $ f $。
• 利用三角多项式估计与Bernstein型不等式，在加权 $ L^\infty $、Sobolev 和 Hölder–Zygmund 空间中证明了 $ V_n^m $ 的统一有界性。
• 通过离散块变换实现快速计算，利用快速傅里叶变换（FFT）算法实现高效求值。
• 在Sobolev空间和 $ C^q([-1,1]) $ 中推导出 $ f $ 及其导数同时逼近的误差估计，其界依赖于 $ m $ 和 $ n $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在切比雪夫节点上，VP滤波插值能否在保持插值性和多项式保真性的同时，实现Lebesgue常数的统一有界性？
• RQ2 使用同一VP插值算子，函数及其前 $ r \geq 1 $ 阶导数的逼近精度如何？
• RQ3 VP算子 $ V_n^m $ 在Sobolev空间和Hölder–Zygmund空间中的映射行为如何？其关于 $ n $ 和 $ m $ 是否具有统一有界性？
• RQ4 能否在一元和二元情形下，构建高效快速的VP插值算子及其导数的计算算法？
• RQ5 在实际应用中，为最小化逼近误差，滤波作用参数 $ m $ 的最优选择是什么？

主要发现

• VP插值算子 $ V_n^m $ 在Sobolev空间和Hölder–Zygmund空间中具有统一有界性，确保了解函数方程时的稳定逼近。
• 即使当 $ n \sim m $ 时，VP插值算子的Lebesgue常数仍保持关于 $ n $ 和 $ m $ 的统一有界性，避免了经典拉格朗日插值中出现的发散现象。
• 推导出 $ f $ 及其导数同时逼近的误差估计，表明在 $ C^q([-1,1]) $ 和Sobolev型空间中具有收敛速率。
• 当 $ n \sim m $ 时，加权一致范数下的逼近误差被一个常数倍的最佳逼近误差所控制，表明其具有近乎最优逼近行为。
• 通过离散傅里叶块变换，实现了 $ V_n^m f $ 及其导数的快速计算，时间复杂度为 $ O(n \log n) $。
• 数值实验表明，当 $ m \sim n $ 时可获得最优收敛行为，且 $ \sqrt{n/m} $ 在误差界中起关键作用。