[论文解读] Some remarks on Finsler manifolds with constant flag curvature

Robert L. Bryant|ArXiv.org|Jul 31, 2001

Advanced Differential Geometry Research参考文献 15被引用 69

一句话总结

本文建立了常正旗曲率 Finsler 流形与 $2n$-流形上无挠 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-结构之间的深层对应关系，表明此类 Finsler 结构在局部上对应于具有正曲率的可积、无挠 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-结构。本文证明这些结构源于测地线空间上的典范 Kähler 几何，并揭示 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 可以成为无挠联络的 holonomy 群——此前在文献中未曾预料到。

ABSTRACT

This article is an exposition of four loosely related remarks on the geometry of Finsler manifolds with constant positive flag curvature. The first remark is that there is a canonical Kahler structure on the space of geodesics of such a manifold. The second remark is that there is a natural way to construct a (not necessarily complete) Finsler n-manifold of constant positive flag curvature out of a hypersurface in suitably general position in complex projective n-space. The third remark is that there is a description of the Finsler metrics of constant curvature on the 2-sphere in terms of a Riemannian metric and 1-form on the space of its geodesics. In particular, this allows one to use any (Riemannian) Zoll metric of positive Gauss curvature on the 2-sphere to construct a global Finsler metric of constant positive curvature on the 2-sphere. The fourth remark concerns the generality of the space of (local) Finsler metrics of constant positive flag curvature in dimension n+1>2 . It is shown that such metrics depend on n(n+1) arbitrary functions of n+1 variables and that such metrics naturally correspond to certain torsion-free S^1 x GL(n,R)-structures on 2n-manifolds. As a by-product, it is found that these groups do occur as the holonomy of torsion-free affine connections in dimension 2n, a hitherto unsuspected phenomenon.

研究动机与目标

• 阐明具有常正旗曲率的 Finsler 流形的几何结构，特别是通过其测地线空间。
• 建立此类 Finsler 结构与 $2n$-流形上无挠 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-结构之间的对应关系。
• 证明 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 可以作为无挠仿射联络的 holonomy 群出现——此前在文献中未被认识。
• 表明常旗曲率为 $1$ 的 Finsler 流形的测地线空间自然携带 Kähler 结构。
• 提供一种方法，利用 Zoll 黎曼度量在 $S^2$ 上构造全局常正曲率的 Finsler 度量。

提出的方法

• 将定向测地线空间 $Q$ 视为 $2n$-维流形，其上具有由测地线流继承的典范辛结构。
• 表明当旗曲率为常正时，$Q$ 可赋予一个自然的黎曼度量，使辛形式平行，从而构成 Kähler 流形。
• 通过对应于测地线上点的全实子流形，构造 $Q$ 上的典范 $S^1 \cdot \mathrm{O}(n)$-结构。
• 将 $S^1 \cdot \mathrm{O}(n)$-结构约化为 $Q$ 上的无挠 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-结构，该结构支撑着 Finsler 几何。
• 应用 Cartan 的活动标架法与外微分系统分析此类结构的局部普遍性。
• 通过结构约化与曲率分析，将 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-结构与常旗曲率 $1$ 的广义 Finsler 度量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 常正旗曲率的 Finsler 流形的测地线空间能否自然地赋予 Kähler 结构？
• RQ2 在维度 $n+1$ 下，常正旗曲率的 Finsler 度量的局部普遍性如何？
• RQ3 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 能否作为 $2n$-流形上无挠仿射联络的 holonomy 群出现？
• RQ4 如何从 $S^2$ 上的黎曼 Zoll 度量构造 $S^2$ 上的全局常正曲率 Finsler 度量？
• RQ5 无挠 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-结构与常旗曲率 $1$ 的 Finsler 结构之间的确切对应关系是什么？

主要发现

• 常旗曲率为 $1$ 的 Finsler 流形的测地线空间 $Q$ 自然携带 Kähler 结构，其辛形式与黎曼度量平行。
• 当 $n > 2$ 时，常正旗曲率 $1$ 的 Finsler 度量在局部上依赖于 $n(n+1)$ 个 $n+1$ 个变量的任意函数。
• $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 被实现为 $2n$-流形上无挠仿射联络的 holonomy 群，这是此前文献中未曾预料的现象。
• 在 $2n$-流形上，具有正曲率的可积、无挠 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-结构与局部常旗曲率 $1$ 的 Finsler 结构之间存在双射对应。
• 可通过测地线空间上的 Kähler 结构，从 $S^2$ 上任意黎曼 Zoll 度量构造出 $S^2$ 上的全局常正曲率 Finsler 度量。
• 此类 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-结构的曲率张量位于维度为 $\dim({\mathcal{K}}_{\circ}(\mathfrak{g}))^{(1)} = 2\binom{n+2}{3} + 2n\binom{n+3}{4}$ 的空间中，确认了其局部普遍性。