[论文解读] Some remarks on P, P_0, B and B_0 tensors

Pingzhi Yuan, Lihua You|arXiv (Cornell University)|May 6, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 5被引用 7

一句话总结

该论文通过证明偶数阶对称 B₀ 张量为 P₀ 张量且半正定，以及偶数阶对称 B 张量为 P 张量且正定，解决了宋和齐提出的关于 P、P₀、B 和 B₀ 张量的三个开放问题。作者建立了一个 B₀ 张量的分解定理，将其表示为一个对角占优的 Z-张量与非负对称张量之和，从而提供了构造性表征，证实了在偶数阶与对称性条件下，其正定性与 P/P₀ 性质。

ABSTRACT

Recently, Song and Qi extended the concept of P, P_0 and B matrices to P, P_0, B and B_0 tensors, obtained some properties about these tensors, and proposed many questions for further research. In this paper, we answer three questions mentioned as above and obtain further results about P, P_0, B and B_0 tensors.

研究动机与目标

• 解决高阶张量理论中 B/B₀ 张量与 P/P₀ 张量之间关系的开放问题。
• 建立 B₀ 张量分解为对角占优 Z-张量与非负对称张量的构造性方法。
• 证明偶数阶对称 B₀ 张量为 P₀ 张量且半正定，且偶数阶对称 B 张量为 P 张量且正定。
• 澄清奇数阶非对称 P 与 P₀ 张量的存在性，回答宋和齐提出的关键问题。

提出的方法

• 通过迭代从原始张量中减去秩一非负对称张量（记为 hₖℰ^{Jₖ}），对 B₀ 张量应用递归分解方法。
• 该分解依赖于识别存在正的非对角线元素的指标集 Jₖ，并减去适当缩放的对称张量以减少正元素的支持范围。
• 该过程确保每个中间张量仍为 B₀ 张量，从而保持涉及行和与非对角线元素的定义不等式。
• 当不再存在正的非对角线元素时，算法终止，得到一个最终张量 M，其为对角占优的对称 Z-张量。
• 分解表达为 𝔹 = M + Σ hₖℰ^{Jₖ}，其中 M 为半正定，且每个 ℰ^{Jₖ} 为非负对称张量。
• 利用该分解证明原始 B₀ 张量为半正定，因此当 m 为偶数且对称时，其为 P₀ 张量。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在奇数阶非对称 P 张量？
• RQ2 是否存在奇数阶非零非对称 P₀ 张量？
• RQ3 当 m ≥ 4 且为偶数时，B₀ 张量是否必为 P₀ 张量？
• RQ4 每个 B₀ 张量是否可分解为一个对角占优 Z-张量与非负对称张量之和？
• RQ5 该分解是否意味着偶数阶对称 B₀ 张量为 P₀ 张量且半正定？

主要发现

• 偶数阶对称 B₀ 张量为 P₀ 张量且半正定，解决了宋和齐提出的第 1.5 问。
• 偶数阶对称 B 张量为 P 张量且正定，证实了对称 B 张量在偶数阶下的 P 性质。
• 对任意 B₀ 张量，分解 𝔹 = M + Σ hₖℰ^{Jₖ} 成立，其中 M 为对角占优的对称 Z-张量，且每个 ℰ^{Jₖ} 为非负对称张量。
• 分解过程在有限步内终止（s > 0），且指标集 Jₖ 严格递减，确保收敛至对角占优 Z-张量。
• 最终张量 M 为半正定，且由于每个 ℰ^{Jₖ} 为非负对称张量，因此整个张量 𝔹 为半正定。
• 本文确认奇数阶非对称 P 张量不存在，且奇数阶非对称 P₀ 张量亦被排除，回答了第 1.4 问。