[论文解读] Some remarks on Prüfer $\star $--multiplication domains and class groups

David F. Anderson, Marco Fontana+1 more|ArXiv.org|Oct 26, 2007

Rings, Modules, and Algebras参考文献 34被引用 9

一句话总结

本文通过多项式系数公式 $(\mathbf{c}_D(fg))^\star = (\mathbf{c}_D(f)\mathbf{c}_D(g))^\star$ 对所有 $K[X]$ 中的非零多项式 $f,g$ 成立，建立了对普鲁弗 $\star$-乘法域（P$\star$MDs）和 P$v$MDs 的基于内容的刻画，并将结果推广至半星运算。此外，本文区分了 $\star$-类群与 $t$-类群，识别出满足 $\text{Cl}^\star(D) \subsetneq \text{Cl}^t(D)$ 的整环，并计算了某些赋值域的 $\text{Cl}^v(D)$。

ABSTRACT

Let $D$ be an integral domain with quotient field $K$ and let $X$ be an indeterminate over $D$. Also, let $\boldsymbol{\mathcal{T}}:=\{T_λ\mid λ \in Λ\}$ be a defining family of quotient rings of $D$ and suppose that $\ast $ is a finite type star operation on $D$ induced by $\boldsymbol{\mathcal{T}}$. We show that $D$ is a P$ \ast $MD (resp., P$v$MD) if and only if $(\co_D(fg))^{\ast}=(\co_D(f)\co_D(g))^{\ast}$ (resp., $(\co_D(fg))^{w}=(\co_D(f)\co_D(g))^{w}$) for all $0 e f,g \in K[X]$. A more general version of this result is given in the semistar operation setting. We give a method for recognizing P$v$MD's which are not P$\ast $MD's for a certain finite type star operation $\ast $. We study domains $D$ for which the $\ast $--class group $\Cl^{\ast}(D)$ equals the $t$--class group $\Cl^{t}(D)$ for any finite type star operation $\ast $, and we indicate examples of P$v$MD's $D$ such that $\Cl^{\ast}(D)\subsetneq \Cl^{t}(D)$. We also compute $\Cl^v(D)$ for certain valuation domains $D$.

研究动机与目标

• 通过多项式系数公式提供识别普鲁弗 $\star$-乘法域（P$\star$MDs）和 P$v$MDs 的基于内容的准则。
• 研究有限型星运算 $\star$ 下 $\star$-类群 $\text{Cl}^\star(D)$ 与 $t$-类群 $\text{Cl}^t(D)$ 之间的关系，特别是二者不相等时的情形。
• 计算某些赋值域（尤其是具有非分支极大理想的赋值域）的 $v$-类群 $\text{Cl}^v(D)$。
• 探讨 $\text{Cl}^v(D) = 0$ 是否足以推出 $D$ 是 GCD-整环，并识别出即使 $D$ 是 $v$-整环或完全积分闭整环，$\text{Cl}^v(D) \neq 0$ 的情形。

提出的方法

• 利用多项式 $f \in K[X]$ 的系数函数 $\mathbf{c}_D(f)$，通过等式 $(\mathbf{c}_D(fg))^\star = (\mathbf{c}_D(f)\mathbf{c}_D(g))^\star$ 对所有非零 $f,g \in K[X]$ 成立，定义 P$\star$MDs 的判别准则。
• 将基于系数公式的判别准则推广至半星运算框架，将星运算的结果扩展至更广泛的运算类别。
• 通过商环的性质和定义族 $\{T_\lambda\}$，构造某些有限型星运算 $\star$ 下不是 P$\star$MD 的 P$v$MD 的例子。
• 在赋值域和 $v$-整环的背景下，应用 $v$-运算与 $t$-运算于分式理想及其类群。
• 利用 $\star_{\!{}_{f}}$-运算（有限型半星运算）分析拟-$\star$-理想及其极大元，从而在不同运算下研究类群。
• 借助关于 GCD-整环、预-施莱尔整环和完全积分闭整环的已知结果，分析 $\text{Cl}^v(D) = 0$ 的情形，并构造 $\text{Cl}^v(D) \neq 0$ 的反例。

实验结果

研究问题

• RQ1 等式 $(\mathbf{c}_D(fg))^\star = (\mathbf{c}_D(f)\mathbf{c}_D(g))^\star$ 对所有非零 $f,g \in K[X]$ 成立，当且仅当 $D$ 是 P$\star$MD 的条件是什么？
• RQ2 能否为某个特定有限型星运算 $\star$ 构造一个不是 P$\star$MD 的 P$v$MD？
• RQ3 对所有有限型星运算 $\star$，$\text{Cl}^\star(D) = \text{Cl}^t(D)$ 何时成立？$\text{Cl}^\star(D) \subsetneq \text{Cl}^t(D)$ 何时成立？
• RQ4 具有非分支极大理想的赋值域 $D$ 的 $\text{Cl}^v(D)$ 的结构如何？
• RQ5 $\text{Cl}^v(D) = 0$ 是否足以推出 $D$ 是 GCD-整环？是否存在 $\text{Cl}^v(D) \neq 0$ 的 $v$-整环？

主要发现

• 当且仅当对所有非零 $f,g \in K[X]$ 有 $(\mathbf{c}_D(fg))^\star = (\mathbf{c}_D(f)\mathbf{c}_D(g))^\star$（相应地，$(\mathbf{c}_D(fg))^w = (\mathbf{c}_D(f)\mathbf{c}_D(g))^w$）时，整环 $D$ 是 P$\star$MD（相应地，P$v$MD）。
• 存在 P$v$MD 整环 $D$，使得对某些有限型星运算 $\star$ 有 $\text{Cl}^\star(D) \subsetneq \text{Cl}^t(D)$，表明 $\star$-类群可能严格小于 $t$-类群。
• 对于具有非分支极大理想的赋值域 $V$，$\text{Cl}^v(V)$ 可能非零，如文献 [4, 例 1] 所示，其中存在一个非有限生成的 $v$-理想 $I$ 满足 $II^{-1} = M$。
• 若 $D$ 是 $v$-整环且 $\text{Cl}^v(D) = 0$，则 $D$ 是 GCD-整环，但逆命题不成立，反例表明存在非 GCD-整环的 $v$-整环满足 $\text{Cl}^v(D) \neq 0$。
• 对于秩为一且极大理想非分支的赋值域 $D$，其 $\text{Cl}^v(D)$ 可能非平凡，表明此类情形下 $\text{Cl}^v(D)$ 并非总是平凡。
• 本文提出一个开放问题：对于整环 $D$，$\text{Cl}^v(D)$ 是否总是 $(\mathbb{R},+)$ 的同态像，如同赋值域情形一样？并建议进一步研究 $\text{Cl}^v(D[X])$ 和 $\text{Cl}^v(D[\mathbb{Q}^+])$。