[论文解读] Some remarks on scaling transition in limit theorems for random fields

Julius Damarackas, Vygantas Paulauskas|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2019

Probability and Risk Models参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文研究了随机场极限定理中的标度转换现象，证明其在 ℤ² 和 ℤ³ 上的线性随机场中出现，无论方差有限或无限，包括负（短程）相依的情况。本文扩展了先前结果，表明标度转换不仅出现在长程相依下，也出现在特定的短程相依结构中，并将该现象与随机场的 Lamperti 型定理联系起来。

ABSTRACT

In the paper we present simple examples of linear random fields defined on $\ZZ^2$ and $\ZZ^3$ which exhibit the scaling transition phenomenon. These examples lead to more general definition of the scaling transition and allow to understand the mechanism of appearance of this phenomenon better. In previous papers devoted to the scaling transition it was proved mainly for random fields with finite variance and long-range dependence. We consider random fields with finite and infinite variance. Our examples show that the scaling transition phenomenon can be observed for linear random fields with the so-called negative dependence, which is part of short-range dependence. Relation of the scaling transition with Lamperti type theorems for random fields is discussed.

研究动机与目标

• 研究随机场极限定理中的标度转换现象，超越经典的长程相依设定。
• 将标度转换的理解扩展到具有无限方差和负（短程）相依的随机场。
• 提供 ℤ² 和 ℤ³ 上线性随机场的明确例子，展示其在各种相依结构下表现出的标度转换。
• 阐明标度转换与随机场 Lamperti 型定理之间的关系。
• 基于观察到的例子和相依结构的特性，对标度转换的定义进行推广。

提出的方法

• 通过具有特定衰减和符号模式的滤波系数，构造 ℤ² 和 ℤ³ 上线性随机场的显式例子。
• 分析在 ℤ² 和 ℤ³ 中随矩形区域增大而增长的部分和的渐近行为。
• 利用协方差结构分析对相依类型进行分类：沿坐标轴的长程相依，其他情况为短程相依，通过符号约束实现负相依。
• 应用 Lamperti 型定理，刻画极限自相似随机场及其多变量自相似指数。
• 推导出在坐标轴、平面和整个格点上协方差之和的精确表达式，以确定总和为零的条件。
• 验证 ℤ³ 上的协方差总和为零，而低维子空间上的和为正，表明存在方向性相依效应。

实验结果

研究问题

• RQ1 标度转换是否可能出现在具有无限方差和负相依的随机场中？
• RQ2 在 ℤ³ 上的随机场中，协方差函数的何种结构条件会导致标度转换？
• RQ3 相依结构（长程 vs. 短程 vs. 负相依）如何影响归一化部分和的收敛性？
• RQ4 极限分布如何依赖于指标集趋向无穷的方向？
• RQ5 在整个格点上协方差的总和在决定标度转换中起什么作用？

主要发现

• 在 ℤ² 和 ℤ³ 上的线性随机场中，即使方差无限且相依为负（短程），也观察到了标度转换。
• 在示例 5 中，ℤ³ 格点上的协方差总和为零，而坐标轴和平面上的和严格为正，表明存在方向性相依效应。
• 对于示例 5 中方差有限的情况，坐标轴上的和满足 $ V_k = (\sum_{j \neq k} A_j)^2 + \sum_{j \neq k} B_j > 0 $，坐标平面上的和满足 $ U_k = A_k^2 + B_k > 0 $，确认了非退化的标度行为。
• 协方差总和 $ \sum_{\mathbb{Z}^3} \rho(n_1,n_2,n_3) = 0 $，这是在无整体长程相依条件下实现标度转换的关键条件。
• 在标度转换区域中，极限场是多变量自相似的，其指数 $ H_1, H_2, H_3 > 0 $，与 Lamperti 型定理一致。
• 该现象不仅限于长程相依场；只要协方差结构表现出方向不对称性，即使在短程或负相依场中，该现象也能出现。