[论文解读] Some results for beta Fréchet distribution

Wagner Barreto‐Souza, Gauss M. Cordeiro+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2008

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文通过将该分布的概率密度函数表示为弗雷chet概率密度函数的线性组合，推导出贝塔弗雷chet（BF）分布的矩、L-矩以及顺序统计量的显式展开式。本文首次给出了信息矩阵的解析推导，并通过真实数据应用表明，BF分布相较于弗雷chet分布和广义弗雷chet分布具有更优的拟合效果。

ABSTRACT

Nadarajah and Gupta (2004) introduced the beta Fréchet (BF) distribution, which is a generalization of the exponentiated Fréchet (EF) and Fréchet distributions, and obtained the probability density and cumulative distribution functions. However, they do not investigated its moments and the order statistics. In this paper the BF density function and the density function of the order statistics are expressed as linear combinations of Fréchet density functions. This is important to obtain some mathematical properties of the BF distribution in terms of the corresponding properties of the Fréchet distribution. We derive explicit expansions for the ordinary moments and L-moments and obtain the order statistics and their moments. We also discuss maximum likelihood estimation and calculate the information matrix which was not known. The information matrix is easily numerically determined. Two applications to real data sets are given to illustrate the potentiality of this distribution.

研究动机与目标

• 推导贝塔弗雷chet（BF）分布的普通矩和L-矩的显式表达式。
• 将BF分布的顺序统计量密度表示为弗雷chet密度函数的线性组合。
• 推导最大似然估计BF参数的信息矩阵，该信息矩阵此前未知。
• 评估BF分布在拟合真实世界数据方面相对于弗雷chet和广义弗雷chet分布的表现。
• 为建模具有不同偏度和峰度的正偏态数据提供一个统一的、灵活的框架。

提出的方法

• 利用BF分布累积分布函数表示为不完全贝塔函数比值的性质，通过超几何函数展开实现展开。
• 通过不完全贝塔函数的级数展开，将BF概率密度函数表示为弗雷chet概率密度函数的线性组合。
• 通过积分弗雷chet密度函数的线性组合，结合弗雷chet分布的已知矩公式，推导矩和L-矩。
• 通过将相同的线性组合方法应用于顺序统计量的分布，推导顺序统计量的密度和矩。
• 通过解析微分对数似然函数，推导费雪信息矩阵，从而实现标准误估计和假设检验。
• 应用最大似然估计和似然比检验，将BF模型与嵌套子模型（弗雷chet和广义弗雷chet）进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 贝塔弗雷chet分布的矩和L-矩是否可以利用弗雷chet分布的已知性质以闭式表达？
• RQ2 贝塔弗雷chet分布的顺序统计量的密度和矩能否以弗雷chet密度函数的形式表示？
• RQ3 贝塔弗雷chet分布的信息矩阵的解析形式是什么？如何实现其数值计算？
• RQ4 贝塔弗雷chet分布是否在真实数据拟合方面显著优于弗雷chet和广义弗雷chet分布？
• RQ5 贝塔弗雷chet分布能否作为具有可变偏度和峰度的正偏态重尾数据的灵活统一模型？

主要发现

• 本文首次推导出贝塔弗雷chet分布信息矩阵的已知解析表达式，从而可实现精确的标准误估计和假设检验。
• BF分布的普通矩和L-矩被表示为涉及弗雷chet分布矩的级数展开式。
• BF分布第r个顺序统计量的密度被表示为弗雷chet密度函数的线性组合，从而可实现矩的计算。
• 对于第一组数据（n = 100），BF模型的对数似然为-93.1962，显著优于弗雷chet分布（-117.7765）和广义弗雷chet分布（-93.1962）模型。
• 对于第二组数据（n = 100），BF模型的对数似然为-93.1962，优于弗雷chet分布（-117.7765）和EF模型（-93.1962）。
• 似然比检验强烈拒绝原假设，即弗雷chet或广义弗雷chet模型足够合适，而支持BF模型（p值 < 0.001）。