[论文解读] Some results for the large time behavior of Hamilton-Jacobi Equations with Caputo Time Derivative

Olivier Ley, Erwin Topp+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文研究了具有 Caputo 时间导数（阶数 $\alpha \in (0,1)$）的 Hamilton-Jacobi 方程的粘性解在长时间行为下的性质，聚焦于 Namah-Roquejoffre 框架。建立了与时间无关的 Hölder 正则性估计，从而能够分析长时间收敛性；在投影 Aubry 集 $Z$ 满足几何条件时，证明了当 $t \to \infty$ 时解收敛于初始数据在 $Z$ 上的最小值，且收敛速率依赖于 $Z$ 的盒计数维数 $D$。

ABSTRACT

We obtain some H\\"older regularity estimates for an Hamilton-Jacobi with fractional time derivative of order $\\alpha \\in (0,1)$ cast by a Caputo derivative. The H\\"older seminorms are independent of time, which allows to investigate the large time behavior of the solutions. We focus on the Namah-Roquejoffre setting whose typical example is the Eikonal equation. Contrary to the classical time derivative case $\\alpha=1$, the convergence of the solution on the so-called projected Aubry set, which is an important step to catch the large time behavior, is not straightforward. Indeed, a function with nonpositive Caputo derivative for all time does not necessarily converge; we provide such a counterexample. However, we establish partial results of convergence under some geometrical assumptions.

研究动机与目标

• 研究具有 Caputo 分数阶时间导数 $\partial_t^\alpha$（$\alpha \in (0,1)$）的 Hamilton-Jacobi 方程解的长时间行为。
• 将常规模型中常用的 Namah-Roquejoffre 框架——通常用于经典情形 $\alpha=1$ 的方程——推广至分数阶时间导数情形。
• 建立与时间无关的 Hölder 正则性估计，从而支持长时间行为的分析。
• 研究在何种几何条件下，投影 Aubry 集 $Z$ 上的解在 $t \to \infty$ 时收敛于初始数据的最小值。
• 以 $Z$ 的盒计数维数 $D$ 表征收敛速率，尤其在 Eikonal 情形下进行量化。

提出的方法

• 使用通过奇异积分与幂律核定义的 Caputo 分数阶导数 $\partial_t^\alpha$，确保与经典初始条件相容。
• 应用粘性解理论与非局部退化椭圆算子的比较原理，这些理论已在先前工作中建立。
• 推导出与时间无关的解的 Hölder 半范数估计，这对长时间行为分析至关重要。
• 构造位于 $Z$ 的 $\epsilon$-邻域内的多边形路径 $\gamma_\epsilon$，使其满足参数为 $D$ 的盒计数条件。
• 利用 Mittag-Leffler 函数 $E_\alpha(-At^\alpha)$ 估计解的能量界中的衰减速率。
• 结合盒计数假设下的路径长度估计与 Mittag-Leffler 函数的衰减估计，推导出收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\alpha \in (0,1)$ 的 Caputo 时间导数 $\partial_t^\alpha$ 的 Hamilton-Jacobi 方程，其解是否在 $t \to \infty$ 时收敛于投影 Aubry 集 $Z$ 上的初始数据最小值？
• RQ2 当经典情形 $\alpha=1$ 的论证失效时（因为非正的 Caputo 导数不蕴含收敛性），是否仍可建立收敛性？
• RQ3 在何种几何条件下，投影 Aubry 集 $Z$ 能保证在分数阶时间导数情形下解的收敛性？
• RQ4 收敛速率如何依赖于 $Z$ 的分形维数 $D$，尤其在 Eikonal 情形下？
• RQ5 能否通过包含遍历常数 $c = -\min f$ 和遍历方程解 $v$ 的展开式来描述其渐近行为？

主要发现

• 若投影 Aubry 集 $Z$ 满足盒计数条件 (4.21) 且 $1 \leq D < \frac{3}{2}$，则 Caputo 分数阶 Hamilton-Jacobi 方程的解 $u$ 满足：对所有 $x \in Z$，有 $u(x,t) \to \min_{\mathbb{T}^N} g$ 当 $t \to \infty$。
• 收敛速率被控制在 $C t^{\alpha \frac{2D-3}{2D-1}}$ 范围内，当 $D < \frac{3}{2}$ 时，该表达式随 $t \to \infty$ 趋于零，表明盒计数维数小于 $3/2$ 的集合具有收敛性。
• 提供了一个反例，说明即使函数的 Caputo 导数对所有 $t$ 非正，其本身也不一定收敛，凸显了与经典 $\alpha=1$ 情形的关键差异。
• 在 Eikonal 情形（$k=1$）下，关联 ODE 的显式解允许对衰减因子 $\mathcal{E}(t)$ 进行精确估计，从而推导出收敛速率。
• 渐近行为可表示为：当 $t \to \infty$ 时，$u(x,t) + c t^\alpha - v(x) \to 0$ 一致成立，其中 $c = -\min f$，且 $v$ 是遍历方程 $F(x,Dv) = f(x) + c$ 的解，且在 $Z$ 上满足 $v = \min g$。
• 在标准 Namah-Roquejoffre 假设下，结果具有鲁棒性，包括 $F(x,\cdot)$ 的凸性、对所有 $p \neq 0$ 有 $F(x,p) > 0$，以及 $f$ 的非负性。