[论文解读] Some results from algebraic geometry over complete discretely valued fields

Krzysztof Jan Nowak|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文在特征零的完备离散赋值域上的代数几何中建立了基础性结果，利用Pas的量化消除和Ax-Kochen-Ershov传递原理。主要贡献包括：可定义闭性的投影与爆破、半代数集的曲线选择，以及连续遗传有理函数的扩张定理；并通过传递原理推广至Hensel域。

ABSTRACT

This paper is concerned with algebraic geometry over complete discretely valued fields $K$ of equicharacteristic zero. Several results are given including: the canonical projection $K^{n} imes K\mathbb{P}^{m} \longrightarrow K^{n}$ and blow-ups of the $K$-points of smooth $K$-varieties are definably closed maps, a descent principle, a version of the Lojasiewicz inequality for continuous rational functions, curve selection for semialgebraic sets and the theorem on extending continuous hereditarily rational functions, established for the real field in our joint paper with J. Kollar. Our approach applies the quantifier elimination due to Pas. By the transfer principle of Ax-Kochen-Ershov, all these results carry over to the case of Henselian discretely valued fields. Using different arguments in our subsequent paper, we establish them over Henselian real valued fields of equicharacteristic zero.

研究动机与目标

• 在特征零的完备离散赋值域上发展代数几何的基础工具。
• 建立光滑K-概形上K-点的爆破与典范投影的可定义闭性。
• 为这类域上的连续有理函数证明洛贾谢夫斯基不等式的某种版本。
• 将实数域上连续遗传有理函数的结果推广到更一般的赋值域。
• 通过Ax-Kochen-Ershov传递原理，将这些结果推广至Hensel离散赋值域。

提出的方法

• 利用Macintyre语言下Pas的量化消除，实现对可定义集的模型论分析。
• 应用Ax-Kochen-Ershov传递原理，将结果从剩余域与值群传递至完备离散赋值域。
• 使用可定义拓扑分析投影与爆破的像，证明其为可定义闭集。
• 通过可定义参数化与模型论紧致性，构造半代数集的曲线选择定理。
• 通过分析可定义集上函数的行为并利用洛贾谢夫斯基不等式，建立连续遗传有理函数的扩张定理。
• 通过后续论文中的独立论证，将结果扩展至特征零的Hensel实赋值域。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于特征零的完备离散赋值域$K$，典范投影$K^n \times K\bb{P}^m \to K^n$是否为可定义闭映射？
• RQ2 在光滑$K$-概形上，$K$-点的爆破在此设定下是否为可定义闭映射？
• RQ3 能否为这类域上的连续有理函数建立并证明某种洛贾谢夫斯基型不等式？
• RQ4 在特征零的完备离散赋值域背景下，半代数集的曲线选择是否成立？
• RQ5 定义在半代数子集上的连续遗传有理函数能否连续地延拓至更大的定义域？

主要发现

• 对于特征零的完备离散赋值域$K$，典范投影$K^n \times K\bb{P}^m \to K^n$是可定义闭的。
• 在相同设定下，光滑$K$-概形上$K$-点的爆破是可定义闭映射。
• 在特征零的完备离散赋值域上，连续有理函数的洛贾谢夫斯基不等式存在某种版本。
• 当$K$是特征零的完备离散赋值域时，$K^n$中半代数集的曲线选择成立。
• 在该类域上，定义在半代数集上的连续遗传有理函数可连续地延拓至更大的半代数定义域。
• 所有结果均可通过Ax-Kochen-Ershov传递原理推广至Hensel离散赋值域，且对特征零的Hensel实赋值域，亦通过独立论证得到证实。