[论文解读] Some results on (a:b)-choosability

Shai Gutner, Michael Tarsi|ArXiv.org|Feb 10, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用 7

一句话总结

该论文通过证明 (a:b)-可选择性并不蕴含 (c:d)-可选择性，即使 c/d > a/b，从而解决了图论中关于图可选择性长期存在的一个问题，揭示了选择比值的非单调行为。论文建立了 k 阶选择数的概率上界，证明了最大出度为 d 且不含奇数有向环的有向图是 (k(d+1):k)-可选择的，并将强染色数和列表染色猜想的结果推广至特定图类。

ABSTRACT

A solution to a problem of Erdős, Rubin and Taylor is obtained by showing that if a graph $G$ is $(a:b)$-choosable, and $c/d > a/b$, then $G$ is not necessarily $(c:d)$-choosable. Applying probabilistic methods, an upper bound for the $k^{th}$ choice number of a graph is given. We also prove that a directed graph with maximum outdegree $d$ and no odd directed cycle is $(k(d+1):k)$-choosable for every $k \geq 1$. Other results presented in this article are related to the strong choice number of graphs (a generalization of the strong chromatic number). We conclude with complexity analysis of some decision problems related to graph choosability.

研究动机与目标

• 解决 Erdős、Rubin 和 Taylor 关于 (a:b)-可选择性相对于比值 a/b 的单调性的一个猜想。
• 使用概率方法建立 k 阶选择数 ch_k(G) 的上界。
• 将强染色数和列表染色猜想的结果推广至特定图类，如二分图、平面图和弦图。
• 分析与图可选择性相关的判定问题的复杂性，并为某些定向图提供多项式时间算法。
• 通过无环定向和子图密度等结构性质刻画 (a:b)-可选择图。

提出的方法

• 使用概率方法推导出 ch_k(G) 的上界，证明对于完全 r-部图 K_{m₁,…,mᵣ}，有 ch_k(G) ≤ 948r(k + log((m₁+⋯+mᵣ)/r))。
• 通过引理 7.2 应用归纳法和集合划分，将集合族分解为不相交的可着色子集，确保无冲突分配。
• 利用基于定向的结果：若图存在最大出度为 d 的无环定向，则其为 (k(d+1):k)-可选择的。
• 采用极值构造方法证明强染色数 sχ(d) 的下界，表明 sχ(2r) ≥ 4r 且 sχ(2r+1) ≥ 4r+2。
• 使用 M(G) = max(|E(H)|/|V(H)|) 对所有子图 H 的定义，推导出二分图和平面图的可选择性界。
• 应用 Galvin 等人的结果，证明当 G 不含长度为 4 或更长的环时，有 ch(L(G)) = χ(L(G))。

实验结果

研究问题

• RQ1 若 G 是 (a:b)-可选择的且 c/d > a/b，是否必有 G 是 (c:d)-可选择的？（答案：否。）
• RQ2 当 k → ∞ 时，ch_k(G) 的渐近行为如何？（答案：对足够大的 k，有 ch_k(G) ≤ k(χ(G) + ε)。）
• RQ3 能否用 r 和平均顶点类大小来界定完全 r-部图的 k 阶选择数？
• RQ4 在图的定向满足何种结构条件时，其为 (k(d+1):k)-可选择的？
• RQ5 对于其 2-连通分量仅为三角形或更小环的图，列表染色猜想是否成立？

主要发现

• 对 Erdős-Rubin-Taylor 问题给出了否定回答：若 G 是 (a:b)-可选择的且 c/d > a/b，G 不一定是 (c:d)-可选择的。
• 对任意 ε > 0，存在 k₀，使得对所有 k ≥ k₀，有 ch_k(G) ≤ k(χ(G) + ε)，表明 k 的渐近线性性。
• 建立了上界：对所有 r ≥ 1 且 mᵢ ≥ 2，有 ch_k(K_{m₁,…,mᵣ}) ≤ 948r(k + log((m₁+⋯+mᵣ)/r))。
• 对任意图 G，有 ch_k(G) ≤ 948χ(G)(k + log(|V|/χ(G) + 1))，推广了先前的界。
• 随机图 G_{n,p} 几乎必然满足 ch_k(G_{n,p}) ≤ 475 log(1/(1−p)) n (log log n)/log n，当 n → ∞ 时。
• 对所有 k ≥ 1，不含奇数有向环且最大出度为 d 的有向图是 (k(d+1):k)-可选择的，且存在多项式时间构造方法。