[论文解读] Some Results on dh-Closed Homogeneous Gr\"obner Bases and dh-Closed Graded Ideals

Huishi Li, Cang Su|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用 1

一句话总结

本文建立了在具有 SM $K$-基的分次 $K$-代数 $R$ 中的 Groebner 基与在多项式扩张 $R[t]$ 中的 dh-闭齐次 Groebner 基之间的一一对应关系。此外，本文进一步表明，$R[t]$ 和自由代数中的 dh-闭分次理想可通过这些基表征，从而使得这些代数可作为 Rees 代数，通过更简单的齐次结构进行研究。

ABSTRACT

Let $K$ be a field and $R=\oplus_{p\in\mathbb{N}}R_p$ an $\mathbb{N}$-graded $K$-algebra, which has an SM $K$-basis (i.e. a skew multiplicative $K$-basis) such that $R$ holds a Grobner basis theory. It is proved that there is a one-to-one correspondence between the set of Grobner bases in $R$ and the set of dh-closed homogeneous Grobner bases in the polynomial algebra $R[t]$; and that the similar result holds true if $R$ and $R[t]$ are replaced respectively by the free algebra $K $ and the free algebra $K $. Moreover, it is shown that dh-closed graded ideals in $R[t]$ and $K $ can be realized by dh-closed homogeneous Grobner bases. The latter result indeed tells us that algebras defined by dh-homogeneous Grobner bases can be studied as Rees algebras effectively via more simpler algebras as demonstrated in ([7], [8]).

研究动机与目标

• 建立在具有 SM $K$-基的分次 $K$-代数 $R$ 中的 Groebner 基与在 $R[t]$ 中的 dh-闭齐次 Groebner 基之间的一一对应关系。
• 将此对应关系扩展至自由代数 $K$ 及其多项式扩张 $K[t]$ 的情形。
• 证明 $R[t]$ 和自由代数中的 dh-闭分次理想均可通过 dh-闭齐次 Groebner 基实现。
• 表明由 dh-齐次 Groebner 基定义的代数可通过更简单的代数模型有效分析为 Rees 代数。
• 为通过齐次 Groebner 基结构简化复杂分次代数的研究提供理论基础。

提出的方法

• 利用 $R$ 中存在斜乘法（SM）$K$-基的事实，本文在分次 $K$-代数 $R$ 中构建了 Groebner 基理论。
• 将 $R$ 扩展至多项式代数 $R[t]$，本文引入一种保持 Groebner 基性质的齐次化过程。
• 通过次数齐次生成元及特定可除性条件的闭包，定义 $R[t]$ 中的 dh-闭齐次 Groebner 基。
• 利用 SM $K$-基的结构，建立 $R$ 中的 Groebner 基与 $R[t]$ 中的 dh-闭齐次 Groebner 基之间的双射映射。
• 证明 $R[t]$ 和自由代数中的 dh-闭分次理想恰好是此类 dh-闭齐次 Groebner 基的首项理想。
• 借助 Rees 代数理论中的已知结果（参见 [7]、[8]），将由 dh-齐次 Groebner 基定义的代数解释为更简单代数的 Rees 代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 SM $K$-基的分次 $K$-代数 $R$ 中的 Groebner 基与在 $R[t]$ 中的 dh-闭齐次 Groebner 基之间是否存在一一对应关系？
• RQ2 该对应关系是否可扩展至自由代数 $K$ 及其多项式扩张 $K[t]$？
• RQ3 如何通过 dh-闭齐次 Groebner 基表征 $R[t]$ 和 $K[t]$ 中的 dh-闭分次理想？
• RQ4 由 dh-齐次 Groebner 基定义的代数在多大程度上可通过更简单的代数模型作为 Rees 代数进行研究？
• RQ5 哪些 $R[t]$ 和 $K[t]$ 的结构性质确保 dh-闭齐次 Groebner 基能捕捉所有相关的分次理想？

主要发现

• 在 $R$ 中的 Groebner 基与 $R[t]$ 中的 dh-闭齐次 Groebner 基之间存在一一对应关系。
• 当 $R$ 被替换为自由代数 $K$，$R[t]$ 被替换为 $K[t]$ 时，该对应关系依然成立。
• $R[t]$ 中的所有 dh-闭分次理想均可作为 dh-闭齐次 Groebner 基的首项理想实现。
• 类似地，$K[t]$ 中的 dh-闭分次理想也可由 dh-闭齐次 Groebner 基捕捉。
• 由 dh-齐次 Groebner 基定义的代数可通过更简单的代数模型有效研究为 Rees 代数，如参考文献 [7] 和 [8] 所示。
• 在 $R$ 中存在 SM $K$-基的事实，确保了构建该对应关系所必需的 Groebner 基理论的有效性。