[论文解读] Some results on structure of all arc-locally (out) in-semicomplete digraphs
本文刻画了连通弧局部（出）内半完全及弧局部半完全有向图的结构，证明此类有向图要么是双完美图，要么是长度至少为五的奇扩展圈。结果推广了关于强弧局部半完全有向图的先前工作，并基于禁止子有向图与连通性建立了结构二分法。
Arc-locally semicomplete and arc-locally in-semicomplete digraphs were introduced by Bang-Jensen as a common generalization of both semicomplete and semicomplete bipartite digraphs in 1993. Later, Bang-Jensen (2004), Galeana-Sanchez and Goldfeder (2009) and Wang and Wang (2009) provided a characterization of strong arc-locally semicomplete digraphs. In 2009, Wang and Wang characterized strong arc-locally in-semicomplete digraphs. In 2012, Galeana-Sanchez and Goldfeder provided a characterization of all arc-locally semicomplete digraphs which generalizes some results by Bang-Jensen. In this paper, we characterize the structure of arbitrary connected arc-locally (out) in-semicomplete digraphs and arbitrary connected arc-locally semicomplete digraphs.
研究动机与目标
- 将弧局部半完全有向图的刻画从强情形推广至任意连通有向图。
- 解决连通弧局部（出）内半完全有向图的结构分类问题，此类有向图推广了竞赛图与半完全二分有向图。
- 通过识别结构二分法，统一并推广先前关于弧局部半完全有向图的结果。
- 证明此类有向图要么是双完美图，要么由长度至少为五的奇扩展圈诱导，从而提供完整的结构分类。
提出的方法
- 通过 $P_4$ 的定向，特别是 $H_1$、$H_2$、$H_3$ 和 $H_4$，使用禁止子有向图刻画法来定义弧局部内半完全与半完全类。
- 应用强分量分析与顶点划分，以识别如团割与特殊顶点集等结构组件。
- 采用 $\mathcal{P}$-支配与 $\mathcal{P}$-组合的概念，以建模有向图的扩展与层次结构。
- 利用方向对偶性：弧局部半完全有向图的逆也是弧局部半完全有向图，从而实现对称推理。
- 使用扩展操作与子有向图包含关系，从基本组件如 $E_m$、$\overrightarrow{C_2}$、$\mathcal{C}^*_3$ 与 $TT_3$ 构建并分类复杂结构。
- 采用反证法与结构归纳法：若一个在强分量 $Q$（长度≥5的奇扩展圈）之外的顶点支配 $Q$，则由于弧局部半完全性，将导致邻接矛盾。
实验结果
研究问题
- RQ1连通弧局部内半完全有向图的完整结构刻画是什么？
- RQ2连通弧局部出半完全有向图的完整结构刻画是什么？
- RQ3连通弧局部半完全有向图在强情形之外的完整结构刻画是什么？
- RQ4在何种条件下，连通弧局部半完全有向图不是双完美图？
- RQ5长度至少为五的奇扩展圈是否是唯一非双完美弧局部半完全有向图？
主要发现
- 连通弧局部（出）内半完全有向图要么是双完美图，要么存在特殊顶点划分，要么具有团割。
- 连通弧局部半完全有向图要么是双完美图，要么是长度至少为五的奇扩展圈。
- 若连通弧局部半完全有向图包含一个诱导出长度至少为五的奇扩展圈的强分量，则整个顶点集均包含于该分量中。
- 弧局部半完全有向图类包含所有半完全有向图与半完全二分有向图，且该刻画推广了对强实例的先前结果。
- 弧局部半完全有向图的逆也是弧局部半完全有向图，从而在结构分析中实现方向对偶性。
- 该刻画是紧致的：除双完美有向图与长度至少为五的奇扩展圈外，不存在其他结构形式。
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