[论文解读] Some Results on the Functional Decomposition of Polynomials

Mark Giesbrecht|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 23被引用 12

一句话总结

本论文研究在特征为p的域上，对单变量与多变量多项式及有理函数进行函数分解，重点关注外函数次数可被p整除的“野性”情形。论文为表现出极端野性行为的加法多项式提供了多项式时间算法，并为有理函数分解建立了指数时间解法，关键成果包括对分解数量的分析以及在野性情形下的算法复杂度。

ABSTRACT

If g and h are functions over some field, we can consider their composition f = g(h). The inverse problem is decomposition: given f, determine the ex- istence of such functions g and h. In this thesis we consider functional decom- positions of univariate and multivariate polynomials, and rational functions over a field F of characteristic p. In the polynomial case, "wild" behaviour occurs in both the mathematical and computational theory of the problem if p divides the degree of g. We consider the wild case in some depth, and deal with those polynomials whose decompositions are in some sense the "wildest": the additive polynomials. We determine the maximum number of decompositions and show some polynomial time algorithms for certain classes of polynomials with wild decompositions. For the rational function case we present a definition of the problem, a normalised version of the problem to which the general problem reduces, and an exponential time solution to the normal problem.

研究动机与目标

• 分析在特征为p的域上多项式与有理函数的函数分解，尤其关注外函数次数被p整除的“野性”情形。
• 理解加法多项式的结构与分解数量，此类多项式代表了野性行为的最极端形式。
• 为加法多项式与有理函数的分解开发高效算法，尤其在驯服与野性情形下。
• 建立有理函数分解的标准化形式，并将一般问题约化为该典范形式。
• 研究分解的计算复杂度，包括分裂域次数的下界以及分解数量的下界。

提出的方法

• 利用F(x)的子域、分离多项式与块分解等代数结构分析多项式分解。
• 应用加法多项式理论——定义为f(x) = a_1x^p + a_2x^{p^2} + ...——以研究野性分解行为。
• 引入标准化的有理函数分解问题，通过变换引理将一般情形约化为该形式。
• 采用基于因式分解与根求解技术的多项式时间算法处理加法多项式，尤其在驯服与完全可约情形下。
• 在加法多项式环中使用欧几里得算法分析分解结构与转置关系。
• 应用域运算与复杂度分析（O(n log n M(n))）以界定算法成本，尤其针对有理函数分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在野性情形下，多项式的函数分解最大可能数量是多少，特别是针对加法多项式？
• RQ2 能否为加法多项式的分解构造多项式时间算法，即使在野性情形下？
• RQ3 如何将一般有理函数分解问题约化为一种可算法求解的标准化形式？
• RQ4 有理函数分解的计算复杂度是多少，能否在多项式时间内求解？
• RQ5 是否存在某些多项式类别的分解数量的指数下界，加法多项式如何体现这一点？

主要发现

• 多项式的完全有理正规分解数量受其次数与域特征的函数有界，且给出了显式构造。
• 对于加法多项式，存在多项式时间算法以计算完全分解，且此类分解的数量受准多项式函数有界。
• 一般有理函数分解问题可约化为标准化版本，该版本可在O(2^{2n} n log n M(n))次域运算内求解。
• 建立了分解分裂域次数的下界，表明在野性情形下其增长为超多项式。
• 对于无相似性的加法多项式，双分解问题可在多项式时间内求解，表明某些结构化野性情形具有可解性。
• 本论文表明，即使在有限域等行为良好的域上，绝对分解也可能需要指数度数的扩张域，暗示该问题固有的复杂性。