[论文解读] Some results on translating solitons of the mean curvature flow

Jesús Pérez-García|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文在 $ \mathbb{R}^{m+1} $ 中建立了平移孤立子的非存在性结果，推导出 $ \mathbb{R}^3 $ 中紧致嵌入孤立子的高度尖锐上界，并证明了位于两个平行平面之间的紧致孤立子会继承其边界曲线的对称性。通过切触原理和亚历山德罗夫反射法，本文表明旋转对称孤立子的图象扰动仍保持为旋转面，并提供了对渐近于平移抛物面的完整嵌入孤立子唯一性的替代证明。

ABSTRACT

In this article we prove two non-existence results for translating solitons of the mean curvature flow (translators for short) in $\mathbb{R}^{m+1}$. We also obtain an upper bound to the maximum height that a compact embedded translator in $\mathbb{R}^{3}$ can achieve. On the other hand, we study graphical perturbations of translators, showing that asymptotic graphical perturbations of a graph translator of revolution remain a hypersurface of revolution. Finally, we prove that compact translators that lie between two parallel planes inherit the symmetries of their boundaries curves.

研究动机与目标

• 使用切触原理在 $ \mathbb{R}^{m+1} $ 中建立平移孤立子的非存在性结果。
• 推导 $ \mathbb{R}^3 $ 中紧致嵌入孤立子的最大高度的上界。
• 研究旋转对称孤立子的图象扰动行为及其对称性保持性质。
• 利用亚历山德罗夫反射原理证明位于两个平行平面之间的紧致孤立子会继承其边界曲线的对称性。
• 通过对称性和反射技巧，提供对渐近于平移抛物面的完整嵌入孤立子唯一性的替代证明。

提出的方法

• 应用孤立子的内部与边界切触原理，排除某些嵌入孤立子的存在性。
• 利用最大值原理与紧致性论证，推导 $ \mathbb{R}^3 $ 中紧致孤立子的高度估计。
• 采用垂直于平移方向的平面反射法，分析对称性继承问题。
• 通过分析反射曲面 $ M_{+}^* (t) $ 与 $ M_{-}(t) $ 的行为，证明在图象扰动下对称性得以保持。
• 利用孤立子在共形变换度量下为极小超曲面的性质，合理化经典最大值原理的应用。
• 应用亚历山德罗夫反射原理，证明位于两个平行平面之间的紧致孤立子会继承其边界曲线的对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个非紧致的嵌入孤立子，其紧致边界位于 $ \mathbb{R}^{m+1} $ 中的某个圆柱体内？
• RQ2 在 $ \mathbb{R}^3 $ 中，紧致嵌入孤立子的最大可能高度是多少？
• RQ3 旋转对称孤立子的图象扰动是否仍保持为旋转面？
• RQ4 若一个紧致孤立子位于两个平行平面之间且其边界曲线严格凸，它是否会继承边界曲线的对称性？
• RQ5 能否通过使用对称性与反射技术，重新证明渐近于平移抛物面的完整嵌入孤立子的唯一性？

主要发现

• 在 $ \mathbb{R}^{m+1} $ 中，不存在被包含于任何圆柱体内的非紧致嵌入孤立子，其边界为紧致集。
• 在 $ \mathbb{R}^3 $ 中，紧致嵌入孤立子的最大高度受到一个依赖于边界几何与平移方向的值的上界限制。
• 任何渐近于原始曲面的旋转对称孤立子图象的图象扰动，仍保持为旋转面。
• 位于两个平行平面之间且平移方向垂直于平面的紧致孤立子，会继承其边界曲线的对称性。
• 渐近于平移抛物面的完整嵌入孤立子的唯一性，可作为对称性继承结果的推论得出。
• 平移抛物面的紧致部分是边界为垂直于平移方向的超平面上的 $ (m-1) $-球面的唯一紧致嵌入孤立子。