[论文解读] Some results on zeros distributions and uniqueness of derivatives of difference polynomials

Kai Liu, Xinling Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2011

Meromorphic and Entire Functions参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文在整函数与亚纯函数的差分多项式导数的零点分布与唯一性方面建立了新结果。通过将Hayman型猜想推广至离散情形，证明了在特定阶与次数条件下，诸如 $[P(f)f(z+c)]^{(k)} - a(z)$ 的差分多项式导数具有无穷多个零点；在值共享条件下，共享此类多项式的整函数必通过乘法常数相关联。这些结果改进了此前关于差分多项式与值分布理论的研究。

ABSTRACT

We consider the zeros distributions on the derivatives of difference polynomials of meromorphic functions, and present some results which can be seen as the discrete analogues of Hayman conjecture \cite{hayman1}, also partly answer the question given in \cite[P448]{luolin}. We also investigate the uniqueness problems of difference-differential polynomials of entire functions sharing one common value. These theorems improve the results of Luo and Lin\cite{luolin} and some results of present authors \cite{liuliucao}.

研究动机与目标

• 研究亚纯函数与整函数的差分多项式导数的零点分布，其特征为超阶小于1的超越整函数。
• 将Hayman猜想及相关结果推广至涉及平移与差分的离散情形。
• 解决差分-微分多项式共享公共值时的唯一性问题，改进早期的值共享定理。
• 确定在何种次数与阶的条件下，此类多项式具有无穷多个零点，或强制函数之间存在函数关系。
• 解决关于亚纯函数唯一性定理有效性及更一般差分结构的开放问题。

提出的方法

• 利用Nevanlinna理论与小函数技巧，分析亚纯函数与整函数的增长性与值分布。
• 应用Nevanlinna理论的第二主定理与逼近函数，估计零点与极点的计数函数。
• 使用特征函数 $ T(r,f) $ 与小函数误差项 $ S(r,f) $ 控制增长性，并在假设下导出矛盾。
• 利用Wiman-Valiron理论与渐近分析，在条件不满足时构造反例，如 $ f(z) = e^{e^z} $。
• 应用对数导数引理与共享值（CM与IM）概念，分析差分多项式导数的唯一性。
• 通过分析类似Wronskian的表达式 $ H $ 的Casorati-Weierstrass型行为，推导函数之间的函数关系，得出 $ F = G $ 或 $ F \times G = 1 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有 $ \rho_2(f) < 1 $ 的超越整函数 $ f $，差分多项式 $[P(f)f(z+c)]^{(k)} - a(z)$ 的导数在何种条件下具有无穷多个零点？
• RQ2 定理1.1中的条件 $ n \geq t(k+1)+1 $ 是否可弱化或推广至亚纯函数？该条件是否为最优？
• RQ3 当差分-微分多项式共享值CM或IM时，$ n $ 的最小次数条件为何，可保证 $ f $ 与 $ g $ 的唯一性？
• RQ4 条件 $ \rho_2(f) < 1 $ 对于零点分布结果是否必要？当 $ \rho_2(f) = 1 $ 时会发生什么？
• RQ5 唯一性结果 $ f = tg $ 且 $ t^{m} = t^{n+1} = 1 $ 是否可推广至涉及 $ \Delta_c f $ 的情形？存在何种障碍？

主要发现

• 对于具有 $ \rho_2(f) < 1 $ 的超越整函数 $ f $，若 $ n \geq t(k+1)+1 $，则 $[P(f)f(z+c)]^{(k)} - a(z)$ 具有无穷多个零点，其中 $ t $ 为 $ P(z) $ 的不同零点个数。
• 条件 $ n \geq t(k+1)+1 $ 是最优的；当 $ n < t(k+1)+1 $ 时存在反例，如 $ f(z) = e^z + 1 $，$ e^c = -1 $，此时当 $ n = t = 1 $ 时无零点。
• 对于 $[f^n (\Delta_c f)^s]^{(k)} - a(z) $，若 $ n \geq (t+1)(k+1)+1 $ 且 $ f $ 不是 $ c $-周期函数，则其导数具有无穷多个零点。
• 当 $ f $ 与 $ g $ 为整函数且共享值1（CM），且其差分-微分多项式 $[f^n(f^m-1)f(z+c)]^{(k)} $ 与 $[g^n(g^m-1)g(z+c)]^{(k)} $ 共享1（CM），则当 $ n \geq 2k + m + 6 $ 时，有 $ f = tg $ 且 $ t^{m} = t^{n+1} = 1 $。
• 对于更一般情形涉及 $ \Delta_c f $，若 $ n \geq 5k + 4m + 12 $，则当差分-微分多项式的导数共享1（CM）时，有 $ f = tg $ 且 $ t^{m} = t^{n+1} = 1 $。
• 结果是最优的：当条件不满足时存在反例，如 $ f(z) = e^{e^z} $，其 $ \rho_2(f) = 1 $，此时导数多项式为非零常数，故仅有有限个零点。