[论文解读] Some Schubert shenanigans

Richard P. Stanley|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

Musicology and Musical Analysis参考文献 6被引用 16

一句话总结

本文提出了一个关于矩阵 $\tilde{D}(n,k)$ 行列式值的猜想，其元素为 Schubert 多项式特殊化值 $\nu_w = \frak{S}_w(1,\dots,1)$，并将其与对称群 $S_n$ 的弱序的强 Sperner 性质联系起来。该猜想在小的 $n$ 和 $k$ 下已验证，若行列式非零，则意味着 $W_n$ 具有强 Sperner 性质；论文对 $k=1$ 的情形给出了证明，并探讨了 $\nu_w$ 在小值和最大值时的性质。

ABSTRACT

We give a conjectured evaluation of the determinant of a certain matrix $ ilde{D}(n,k)$. The entries of $ ilde{D}(n,k)$ are either 0 or specializations $\mathfrak{S}_w(1,\dots,1)$ of Schubert polynomials. The conjecture implies that the weak order of the symmetric group $S_n$ has the strong Sperner property. A number of peripheral results and problems are also discussed.

研究动机与目标

• 提出一个关于由 Schubert 多项式特殊化值 $\nu_w = \frak{S}_w(1,\dots,1)$ 构造的矩阵 $\tilde{D}(n,k)$ 的行列式闭式表达的猜想，该矩阵与 $S_n$ 的弱序相关。
• 建立若对所有 $k < \frac{1}{2}\binom{n}{2}$ 有 $\text{det} \tilde{D}(n,k) \neq 0$，则弱序 $W_n$ 具有强 Sperner 性质。
• 研究 $\nu_w = \frak{S}_w(1,\dots,1)$ 的结构与取值，特别是 $\nu_w = 2$ 等小值情形，并刻画实现这些取值的排列。
• 研究 $S_n$ 上 $u(n) = \max_w \nu_w$ 的最大值，并探讨当 $n \to \infty$ 时，此类最大化排列是否呈现极限形状。

提出的方法

• 将矩阵 $\tilde{D}(n,k)$ 定义为 $D(n,k)$ 的归一化版本，其中当 $u \leq v$ 在弱序中时，元素为 $\nu_{vu^{-1}}$，否则为零。
• 在有理向量空间 $\mathbb{Q}W_n$ 上使用提升阶的算子 $U$，定义为 $U(u) = \sum_{i: \ell(us_i)=\ell(u)+1} i \cdot us_i$，通过 $U$ 的幂次生成矩阵 $D(n,k)$。
• 应用恒等式 $U^j(u) = \left(\binom{n}{2}-2k\right)! \sum_v \nu_{vu^{-1}} v$，将矩阵元素与 Schubert 多项式系数关联。
• 提出猜想：$\det \tilde{D}(n,k) = \pm \prod_{i=0}^{k-1} \left( \frac{\binom{n}{2} - (k+i)}{k-i} \right)^{\#(W_n)_i}$，该猜想在 $n \leq 12$，$k \leq 5$ 及若干额外情形下已验证。
• 利用 nilCoxeter 代数 $\mathcal{N}_n$ 从代数角度重述问题，借助其分次结构与乘法规则。
• 应用 Smith 标准型（SNF）分析 $\tilde{D}(n,1)$ 的结构，通过归纳法与行变换证明 $k=1$ 情形的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否对所有 $0 \leq k < \frac{1}{2}\binom{n}{2}$ 都有 $\det \tilde{D}(n,k) \neq 0$，从而推出弱序 $W_n$ 具有强 Sperner 性质？
• RQ2 能否精确刻画满足 $\nu_w = \frak{S}_w(1,\dots,1) = 2$ 的排列 $w$，且该条件是否完全描述了所有此类排列？
• RQ3 当 $n \to \infty$ 时，$u(n) = \max_w \nu_w$ 的渐近增长速率如何？且最大化排列的集合是否具有极限形状？
• RQ4 能否在一般情形下证明 $\tilde{D}(n,k)$ 的猜想行列式公式，或仅能在如 $k=1$ 等特殊情形下证明？
• RQ5 在行列式公式中出现的二项式类似系数是否有组合或代数上的解释？

主要发现

• 猜想的行列式公式 $\det \tilde{D}(n,k) = \pm \prod_{i=0}^{k-1} \left( \frac{\binom{n}{2} - (k+i)}{k-i} \right)^{\#(W_n)_i}$ 在所有 $n \leq 12$ 与 $k \leq 5$ 的情形下成立，且在若干额外情形下也成立。
• 当 $k=1$ 时，已证明：$\det \tilde{D}(n,1) = (-1)^{\lfloor(n-2)/2\rfloor} \left( \binom{n}{2} - 1 \right)$，使用 SNF 与归纳法。
• 对于 $k=1$，$\tilde{D}(n,1)$ 的 Smith 标准型的对角线元素为 $1^{n-2}, \binom{n}{2}-1$，确认了行列式值与结构。
• 论文证明：若排列 $w$ 恰好包含一个 132 模式，则 $\nu_w = 2$，支持了 $\nu_w = 2$ 当且仅当 $w$ 恰好有一个此类模式的猜想。
• $\nu_w$ 的最大值 $u(n)$ 满足 $\frac{1}{4} \leq \liminf \frac{\log_2 u(n)}{n^2} \leq \limsup \frac{\log_2 u(n)}{n^2} \leq \frac{1}{2}$，且对 $n \leq 10$ 精确计算了 $u(n)$，显示出快速增长。
• 当 $n \leq 10$ 时，实现 $u(n)$ 的排列形式为 $132$ 后接一个递减序列，提示最大化排列可能存在极限形状。