[论文解读] Some solvable automaton groups

Laurent Bartholdi, Zoran Šuniḱ|ArXiv.org|Mar 1, 2006

Mathematics and Applications参考文献 6被引用 18

一句话总结

本论文表明，当 $m \neq \pm 1$ 时，可解的 Baumslag-Solitar 群 $BS(1,m)$ 以及各种层灯人群 $L_n = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \wr \mathbb{Z}$ 可通过根树上的自相似结构实现为自动机群。论文证明这些群可由作用于 $n$-元树的有限自动机生成，其构造基于 $n$ 进制算术与 $n$-进整数上的矩阵乘法，并证明了第 $k$ 层作用的对偶自动机与 Schreier 图同构于对偶自动机的迭代积。

ABSTRACT

It is shown that certain ascending HNN extensions of free abelian groups of finite rank, as well as various lamplighter groups, can be realized as automaton groups, i.e., can be given a self-similar structure. This includes the solvable Baumslag-Solitar groups BS(1,m), for m not +/-1. In addition, it is shown that, for any relatively prime integers m,n>=2, the pair of Baumslag-Solitar groups BS(1,m) and BS(1,n) can be realized by a pair of dual automata. The examples are then used to illustrate more general connections between Schreier graphs, composition of automata and dual automata.

研究动机与目标

• 证明当 $m \neq \pm 1$ 时，可解的 Baumslag-Solitar 群 $BS(1,m)$ 可实现为自动机群。
• 证明层灯人群 $L_n = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \wr \mathbb{Z}$ 及其高维类比 $L_{n,d}$ 可通过有限自动机实现。
• 建立第 $k$ 层作用的 Schreier 图与对偶自动机迭代积之间的同构关系。
• 通过显式构造阐明自动机群、Schreier 图与对偶自动机之间的联系。

提出的方法

• 构造能实现 $n$-元树上乘以 $m$ 与 $n$ 进制加法的自动机，以生成 $BS(1,m)$。
• 利用 $D_{n^k,m}$ 与 $(D_{n,m})^k$ 之间的典范同构，证明 $BS(1,n^k)$ 由迭代对偶自动机构造而成。
• 将 $k$-层 Schreier 自动机 $Sch_k(A)$ 定义为自动机 $A$ 在树的第 $k$ 层作用的图形表示。
• 通过 $k$-元组中的状态反转，证明 $Sch_k(A)$ 同构于对偶自动机 $A'$ 的 $k$ 重积 $(A')^k$。
• 通过在 $n$-进整数上使用矩阵乘法，将构造推广至 $d$-维情形，以实现 $\mathbb{Z}^d$ 的升序 HNN扩张。
• 通过 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 上的首一可逆多项式构造 $L_{n,d} = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^d \wr \mathbb{Z}$ 的自动机。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $m \neq \pm 1$ 时，可解的 Baumslag-Solitar 群 $BS(1,m)$ 是否可实现为自动机群？
• RQ2 对于互素且满足 $m,n \geq 2$ 的 $m,n$，是否存在一对对偶自动机可同时实现 $BS(1,m)$ 与 $BS(1,n)$？
• RQ3 是否存在自动机的 $k$-层 Schreier 自动机与其中对偶自动机 $k$ 重积之间的典范同构？
• RQ4 能否通过作用于 $n$-元树的自动机构造高维层灯人群 $L_{n,d}$？
• RQ5 自动机作用的 Schreier 图如何与自动机群中的复合与对偶性相关联？

主要发现

• 群 $BS(1,n^k)$ 同构于 $G(D_{n^k,m})$、$G((D_{n,m})^k)$ 与 $G(Sch_k(D_{m,n}))$，表明迭代对偶与 Schreier 图生成相同的群。
• $D_{n^k,m}$ 自动机同构于 $(D_{n,m})^k$，其状态对应于整数 $0$ 到 $n^k - 1$ 的 $k$ 位 $n$ 进制表示。
• $k$-层 Schreier 自动机 $Sch_k(D_{m,n})$ 同构于 $(D_{n,m})^k$，其状态顺序与对偶自动机积相反。
• 对任意 $d \geq 1$ 及任意无限阶、行列式 $m$ 与 $n$ 互素的 $d \times d$ 矩阵 $M$，$\mathbb{Z}^d$ 关于 $M$ 的升序 HNN 扩张可通过 $n$-进矩阵乘法实现为自动机群。
• 层灯人群 $L_{n,d} = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^d \wr \mathbb{Z}$ 可通过对应于 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 上首一可逆多项式乘法的自动机构造。
• 作用于 $n$-元根树的自动机 $A_{1+t^d}$ 实现了 $L_{n,d}$，尽管 Silva 与 Steinberg 的重置自动机构造在 Krohn-Rhodes 意义上更简单。