[论文解读] Some thoughts on dynamic effective properties -- a working document

J.R. Willis|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2013

Acoustic Wave Phenomena Research参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文利用Floquet理论和传递矩阵法，研究了周期性弹性层合结构中动态波传播的有效本构关系的实用性。结果表明，当波长接近微观结构周期时，有效介质近似会失效，但基于格林函数的改进型有效阻抗公式可在禁带内保持精度。

ABSTRACT

The main purpose of this work is to address the question of the utility of "effective constitutive relations" for problems in dynamics. This is done in the context of longitudinal shear waves in an elastic medium that is periodically laminated, with attention restricted to plane waves propagating in the direction normal to the interfaces. The properties of such waves can be found by employing Floquet theory, implemented via a "transfer matrix" formulation. Problems occur at frequencies beyond those that define the first pass band, associated in part with the difficulty of assigning a unique wavenumber to the wave. This problem is examined, paying careful attention to the requirements of causality and passivity. The transmission of waves into a half-space is discussed by studying the impedance of the half-space, both directly and in the "effective medium" approximation, and an alternative way of looking at this problem, based on construction of the Green's function, is developed.

研究动机与目标

• 评估有效本构关系在动态复合材料中的有效性和适用性，特别是在波长与微观结构周期相当的情况下。
• 解决由于周期性和因果性约束，在第一通带以外定义波数和色散关系时存在的模糊性问题。
• 提出一种基于格林函数的替代有效阻抗公式，使其在禁带内仍保持明确定义且准确。
• 比较不同频率和微观结构尺度下，周期性半无限体的精确阻抗与其有效介质近似的差异。
• 明确有效介质理论在何种条件下仍可作为复合材料中波传播的有用近似。

提出的方法

• 通过拉普拉斯变换的运动方程表述周期性弹性层合结构中的波传播，并应用Floquet理论，推导出指数调制周期函数形式的解。
• 采用传递矩阵法传播各层的位移和应力，通过界面连续性条件确定布洛赫波数μ的特征值问题。
• 通过各层传递矩阵乘积的迹推导色散关系，确保与因果性和无源性要求的一致性。
• 引入一种空间周期性的有效阻抗 $ Z^{\text{eff}}(X) $，其通过精确介质的格林函数定义，避免了相位选择的模糊性，并在禁带内保持有效。
• 通过比较不同位置和频率下半无限体的精确阻抗与有效阻抗 $ Z^{\text{eff}}(X) $，评估近似精度。
• 使用数值计算（Matlab）生成 $ \mu h $、$ \text{Re}(\mu h) $ 和 $ \text{Im}(\mu h) $ 的图表，分析相位连续性和混淆效应。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，有效介质近似对周期性复合材料中的动态波传播仍具有效性？
• RQ2 由周期性引起的波数 $ \mu $ 的模糊性如何影响有效性能和色散关系的定义？
• RQ3 基于精确介质格林函数的有效阻抗公式能否克服传统有效介质近似方法的局限性？
• RQ4 有效阻抗 $ Z^{\text{eff}}(X) $ 在多大程度上能准确捕捉精确阻抗的行为，特别是在禁带和共振附近？
• RQ5 为何标准有效介质方法在有效波长与微观结构周期相当或更短时会失效？

主要发现

• 当有效波长小于约2.5倍微观结构周期 $ h $ 时，有效介质近似失效，尤其在禁带和共振附近。
• 标准有效阻抗公式在禁带内无法正确捕捉行为，原因在于波数 $ \mu $ 的相位模糊性，其在第一通带之外并非唯一定义。
• 基于格林函数的所提 $ Z^{\text{eff}}(X) $ 公式在空间上具有周期性，且与相位选择无关，可在禁带内提供一致且准确的描述。
• 在100 kHz时，$ Z^{\text{eff}}(X) $ 随位置变化极小，表明与精确阻抗高度一致，有效介质近似有效。
• 在150 kHz时，$ Z^{\text{eff}}(X) $ 显著变化，表明有效介质近似失效，但第一禁带仍被正确识别。
• 对于三相层合结构，$ Z^{\text{eff}}(0) $ 在第一通带内与精确阻抗非常接近，并在第二通带内比以往近似提供更优的估计。