[论文解读] Some topological invariants and biorthogonal systems in Banach spaces

Piotr Koszmider|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2012

Advanced Banach Space Theory参考文献 30被引用 7

一句话总结

本文研究了紧致空間中的拓撲不變量與巴納赫空間中的雙正交系統之間的相互作用，特別關注分離度、遺傳林德爾ö夫度與半雙正交序列等基數不變量如何與 $C(K)$ 和 $X$ 中雙正交系統的大小相關。主要貢獻在於證明：在 CH 或其他集合論假設下，$C(K)$ 擁有不可數雙正交系統，即使 $K$ 的分離度為可數，且在某些模型中 $sbiort(X) < s(B_{X^*})$，從而顯示其獨立於標準 ZFC 公理。

ABSTRACT

We consider topological invariants on compact spaces related to the sizes of discrete subspaces (spread), densities of subspaces, Lindelof degree of subspaces, irredundant families of clopen sets and others and look at the following associations between compact topological spaces and Banach spaces: a compact K induces a Banach space C(K) of real valued continuous functions on K with the supremum norm; a Banach space X induces a compact space - the dual ball with the weak* topology. We inquire on how topological invariants on K and the dual ball are linked to the sizes of biorthogonal systems and their versions in C(K) and X respectively. We gather folkloric facts and survey recent results like that of Lopez-Abad and Todorcevic that it is consistent that there is a Banach space X without uncountable biorthogonal systems such that the spread of the dual ball is uncountable or that of Brech and Koszmider that it is consistent that there is a compact space where spread of the square of K ic countable but C(K) has uncountable biorthogonal systems.

研究动机与目标

• 研究緊致空間 $K$ 和 $B_{X^*}$ 上的拓撲不變量與 $C(K)$ 及 $X$ 中雙正交系統大小之間的關係。
• 檢驗如分離度、遺傳林德爾ö夫度與冗餘度等不變量如何與非可分巴納赫空間中的雙正交與近乎雙正交系統相關。
• 綜述並統一關於在 $K$ 或 $B_{X^*}$ 上具有小拓撲不變量的巴納赫空間中不可數雙正交系統的一致性結果的民間與近期成果。
• 澄清半雙正交系統大小與其他不變量的獨立性，特別是在羅澤維茨問題與集合論模型的背景下。

提出的方法

• 利用 $C(K)$ 與 $B_{X^*}$ 之間的標準對偶性，其中 $K$ 為緊致豪斯多夫空間，$X^*$ 為巴納赫空間 $X$ 的對偶，將 $K$ 和 $B_{X^*}$ 的拓撲性質與 $X$ 及 $C(K)$ 的幾何性質聯繫起來。
• 應用超限構造來建立 $X$ 中的序列 $(x_\beta, x_\beta^*)$，使其滿足 $x_\beta^*(x_\beta) = 1$ 且 $x_\beta^*(x_\theta) = 0$ 對所有 $\theta < \beta$，從而建立 $sbiort(X)$ 的下界。
• 運用里斯表示定理將 $C(K)^*$ 與 Radon 測度空間 $M(K)$ 進行識別，從而使測度論工具能應用於雙正交系統的分析。
• 利用 $B_{X^*}$ 上的弱*拓撲定義開集 $U_\beta = \{x^* : x^*(x_\beta) > 1/2\}$，這些集合可作為右分離序列的見證，並與遺傳林德爾ö夫度相關。
• 應用集合論拓撲中的結果，如庫嫩空間與分裂區間構造，以產生對預期基數不等式的反例。
• 分析 $\varepsilon$-雙正交與近乎雙正交系統，以探討非可分巴納赫空間中幾何結構與拓撲大小之間的差距。

实验结果

研究问题

• RQ1 在分離度為可數的情況下，是否存在一致的模型使得巴納赫空間 $X = C(K)$ 擁有不可數雙正交系統？
• RQ2 在 $C(K)$ 中，半雙正交系統的大小是否可能嚴格小於 $C(K)$ 的密度，這對羅澤維茨問題有何含義？
• RQ3 是否存在一個巴納赫空間 $X$ 使得 $sbiort(X) < s(B_{X^*})$？這揭示了 $B_{X^*}$ 在決定雙正交系統大小中的作用為何？
• RQ4 對於緊致空間 $K$，是否可能有 $hL(K) < sbiort_1(C(K))$？這對 $C(K)$ 的結構有何含義？
• RQ5 是否一致地存在 $abiort(X) = \omega_1$ 而 $sbiort(X) = \omega$，這是否顯示出近乎雙正交與半雙正交系統之間存在顯著差距？

主要发现

• 在 CH 下，一致地存在一個巴納赫空間 $X = C(K)$，使得 $\omega = biort(X) < sbiort(X) = \omega_1 = 2^\omega$，顯示即使雙正交系統不可數，半雙正交系統仍可為不可數。
• 一致地存在一個緊致空間 $K$，使得 $\omega = biort(C(K)) < sbiort(C(K)) = \omega_2 = 2^\omega$，顯示雙正交與半雙正交系統之間的差距在某些模型中可任意大。
• 存在一個非度量緊致空間 $K$，其不具備不可數半雙正交序列，顯示 $sbiort(C(K)) < dens(C(K))$，這意味著羅澤維茨問題獨立於 ZFC。
• 一致地存在 $\omega = sbiort_{n-1}(X) < biort_n(X) = \omega_1$ 對偶數 $n \geq 4$，顯示高階有限支撐半雙正交系統可大於低階者。
• 一致地存在 $sbiort(X) = biort(X) = \omega < abiort(X) = \omega_1$，顯示即使半雙正交與雙正交系統為可數，近乎雙正交系統仍可為不可數。
• 對於任意巴納赫空間 $X$，有 $hL(B_{X^*}) = dens(X)$，顯示 $B_{X^*}$ 的遺傳林德爾ö夫度始終等於 $X$ 的密度特徵，因此在此背景下為平凡不變量。