[论文解读] Some unbounded functions of intermittent maps for which the central limit theorem holds

Jérôme Dedecker, Clémentine Prieur|ArXiv.org|Dec 17, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 11

一句话总结

本文在具有中性不动点的间歇映射下，针对无界函数的偏和建立了中心极限定理，使用由庞特里亚金-弗罗贝尼乌斯算子导出的依赖系数。证明了对于一类单调、可积且具有多项式尾部的函数，即使函数在零附近发散，经标准 √n 缩放后，归一化和仍收敛于正态分布，从而将经典结果推广至无界可观测量。

ABSTRACT

We compute some dependence coefficients for the stationary Markov chain whose transition kernel is the Perron-Frobenius operator of an expanding map $T$ of $[0, 1]$ with a neutral fixed point. We use these coefficients to prove a central limit theorem for the partial sums of $f\circ T^i$, when $f$ belongs to a large class of unbounded functions from $[0, 1]$ to ${\mathbb R}$. We also prove other limit theorems and moment inequalities.

研究动机与目标

• 将中心极限定理推广至具有中性不动点的间歇动力系统中的无界可观测量。
• 填补现有理论中的空白，即目前仅对有界或赫尔德连续函数建立了 CLT。
• 刻画在标准 √n 缩放下，使得归一化和收敛于正态分布的无界函数类。
• 在不变测度下，为这类函数的部分和建立矩不等式和极限定理。
• 将关于有界或正则函数的结果推广至在中性不动点处具有奇点的更广泛函数类。

提出的方法

• 将类 𝒞(M,p,νγ) 定义为在不变测度 νγ 下，具有幂律尾部分布的单调函数的有限线性组合在 L¹ 中的闭包。
• 计算由间歇映射 Tγ 的庞特里亚金-弗罗贝尼乌斯算子 Kγ 所诱导的平稳马尔可夫链的依赖系数。
• 利用依赖结构和矩界，控制部分和 Sₙ(f) = ∑ᵢ₌₁ⁿ f∘Tᵢ 的 Lq-范数。
• 应用 Dedecker 和 Doukhan (2003) 以及 Rio (2000) 的矩不等式，以界定归一化和的 Lq-范数。
• 通过验证矩增长条件并使用特征函数法，建立收敛于正态分布的结论。
• 在附加混合条件下，为经验分布函数的泛函中心极限定理提供证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有中性不动点的间歇映射下，对于哪些无界函数 f 的类，中心极限定理在 √n 缩放下成立？
• RQ2 是否可以将 CLT 推广至在中性不动点处发散的函数（例如 f(x) = x⁻ᵃ）而无需要求有界性或赫尔德连续性？
• RQ3 f 的哪些矩和正则性条件可确保归一化和 Sₙ(f) − νγ(f) 在分布上收敛于正态分布？
• RQ4 依赖系数的衰减速率如何影响 CLT 所允许的无界函数的范围？
• RQ5 在何种条件下，经验过程 √n(Fₙ(t) − Fνγ(t)) 在分布上收敛于一个紧致的高斯过程？

主要发现

• 对于 f ∈ 𝒞(M,p,νγ) 且满足 p > (2−2γ)/(1−2γ)，归一化和 n⁻¹ᐟ²(Sₙ(f) − νγ(f)) 在分布上收敛于正态分布。
• 即使当 f(x) = x⁻ᵃ 且 0 < a < 1/2 − γ 时，该结果仍成立，从而将先前结果推广至在 0 处具有奇点的无界函数。
• 当 f 为正且非增，且满足 f(x) ≤ C(1−x)⁻ᵃ 时，若 a < (1−2γ)/(2(1−γ)) 且 q 处于合适范围内，则归一化和的 Lq-范数为 O(√n)。
• 当 a < 1/2 且 q 足够大时，Lq-范数的增长率为 O(n¹⁺ε−(1−γ)(1−aq)/(γq))（对任意 ε > 0），表明具有次高斯尾部行为。
• 当 γ < 1/3 且 β₂(k) = O(k⁻²⁻ε) 时，经验过程 √n(Fₙ,γ(t) − Fνγ(t)) 在 D([0,1]) 中依分布收敛于一个紧致的高斯过程。
• 当 γ < 1/2 时，经验过程在 L²(π) 中收敛于一个高斯过程，且 Kanto­rovich 距离 d₁(Fₙ,γ, Fνγ) 在 √n 缩放下依分布收敛于 ∫₀¹ |Gγ(t)|dt。