[论文解读] Some unified integrals associated with Bessel-Struve kernel function

Kottakkaran Sooppy Nisar, Praveen Agarwal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2016

Mathematical functions and polynomials参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文推导了涉及贝塞尔-斯特鲁夫核函数 $ S_{\beta}(\nu z) $ 的统一积分公式，将其表示为广义 Wright 函数的形式。通过利用核函数的级数展开并应用已知的积分恒等式，作者建立了新的闭式结果，这些结果推广了此前关于贝塞尔函数和斯特鲁夫函数的积分，特殊情形下可恢复已知的 $ I_0, L_0, I_1, L_1 $ 的恒等式。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the generalized integral formula involving Bessel-Struve kernel function $S_{α}\left( λz ight) $, which expressed in terms of generalized Wright functions. Many interesting special cases also obtained in this study.

研究动机与目标

• 推导涉及贝塞尔-斯特鲁夫核函数 $ S_{\beta}(\nu z) $ 的新统一积分公式。
• 将这些积分表示为广义 Wright 型超几何函数 $ {}_p\Psi_q $ 的形式。
• 通过选择参数 $ \beta $ 的特定值，使结果恢复已知的贝塞尔函数与斯特鲁夫函数的积分公式。
• 将先前关于贝塞尔函数统一积分的结果扩展至更广泛的贝塞尔-斯特鲁夫函数类别。

提出的方法

• 利用贝塞尔-斯特鲁夫核函数的幂级数表示 $ S_{\alpha}(\lambda z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\lambda z)^n \Gamma(\alpha+1) \Gamma((n+1)/2)}{\sqrt{\pi} n! \Gamma(n/2 + \alpha + 1)} $。
• 应用积分恒等式 $ \int_0^\infty x^{\mu-1} (x+a+\sqrt{x^2+2ax})^{-\lambda} dx = 2^{1-\mu} a^{\mu-\lambda} \frac{\Gamma(2\mu) \Gamma(\lambda - \mu)}{\Gamma(1+\lambda+\mu)} $，其中 $ 0 < \text{Re}(\mu) < \text{Re}(\lambda) $。
• 在一致收敛条件下交换求和与积分顺序，从而以广义 Wright 函数的形式导出结果。
• 使用由核函数级数导出的特定参数集，将最终结果表示为广义 Wright 函数 $ {}_3\Psi_2 $ 和 $ {}_2\Psi_2 $。
• 利用贝塞尔-斯特鲁夫核函数与贝塞尔函数/斯特鲁夫函数之间的已知关系，如 $ S_0(z) = I_0(z) + L_0(z) $ 和 $ S_1(z) = (2I_1(z) + L_1(z))/z $，以恢复特殊情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用广义 Wright 函数推导贝塞尔-斯特鲁夫核函数的统一积分公式？
• RQ2 广义 Wright 函数在计算涉及 $ S_{\alpha}(\nu z) $ 的积分时如何出现？
• RQ3 当 $ \alpha = 0 $ 或 $ \alpha = 1 $ 时，所推导的积分公式的特殊情形是什么，其对应于 $ I_0, L_0, I_1, L_1 $ 的组合？
• RQ4 这些结果在何种程度上推广了已知的贝塞尔函数与斯特鲁夫函数的积分公式？

主要发现

• 积分 $ \int_0^\infty x^{\mu-1} (x+a+\sqrt{x^2+2ax})^{-\lambda} S_{\alpha}(\gamma y / (x+a+\sqrt{x^2+2ax})) dx $ 的结果为 $ 2^{1-\mu} a^{\mu-\lambda} \frac{\Gamma(\alpha+1) \Gamma(2\mu)}{\sqrt{\pi}} \times {}_3\Psi_2\left[ \cdots \right] $。
• 当 $ \alpha = 0 $ 时，结果简化为涉及 $ I_0(y/\cdot) + L_0(y/\cdot) $ 的积分，表示为具有特定参数的 $ {}_3\Psi_3 $。
• 当 $ \alpha = 1 $ 时，结果对应于 $ 2I_1(y/\cdot) + L_1(y/\cdot) $，给出 $ {}_2\Psi_2 $ 的表达式。
• 所推导的公式通过将贝塞尔函数与斯特鲁夫函数统一于贝塞尔-斯特鲁夫核函数框架下，推广了已知的贝塞尔函数与斯特鲁夫函数的积分。
• 条件 $ \text{Re}(\mu) > 0 $，$ \text{Re}(\lambda) > \text{Re}(\mu) $，以及 $ x > 0 $ 确保了结果的收敛性与有效性。