[论文解读] Some uniform in bandwidth functional results for the tail uniform empirical and quantile processes

Davit Varron|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 5

一句话总结

该论文在带宽范围 $ h $ 上建立了尾部均匀经验过程与分位数过程的函数极限定理，证明在条件 $ n h_n / \text{log} \text{log} n \to \infty $ 且 $ h_n \to 0 $ 下，其收敛于标准布朗运动。关键贡献在于尾部区域局部经验过程的带宽一致函数中心极限定理。

ABSTRACT

For fixed $t\in [0,1)$ and $h>0$, consider the local uniform empirical process $$\DD_{n,h,t}(s):=n^{-1/2}\coo\sliin 1_{[t,t+hs]}(U_i)-hs\cff,\;s\in [0,1],$$ where the $U_i$ are independent and uniformly distributed on $[0,1]$. We investigate the functional limit behaviour of $\DD_{n,h,t}$ uniformly in $\wth_n\le h\le h_n$ when $n\wth_n/\log\log n ar \infty$ and $h_n ar 0$.

研究动机与目标

• 研究固定 $ t \in [0,1) $ 时，局部均匀经验过程 $ \mathcal{D}_{n,h,t} $ 在尾部区域的渐近行为。
• 建立在 $ n \to \infty $ 时带宽区间 $ h \in [\mathfrak{h}_n, h_n] $ 上收缩的带宽范围内一致的弱收敛结果。
• 推导当带宽相对于样本量缓慢减小时，尾部经验与分位数过程的函数极限定理。
• 将现有函数极限理论扩展至带宽在某一范围内均匀变化的情形，尤其在尾部区域。
• 为涉及随机带宽的局部经验过程在非参数统计推断中提供理论基础。

提出的方法

• 定义局部均匀经验过程 $ \mathcal{D}_{n,h,t}(s) = n^{-1/2} \left( \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{[t,t+hs]}(U_i) - hs \right) $，其中 $ s \in [0,1] $，且 $ U_i \sim \text{Uniform}[0,1] $。
• 在渐近框架下分析该过程，其中 $ \mathfrak{h}_n \leq h \leq h_n $，$ h_n \to 0 $，且 $ n h_n / \log\log n \to \infty $。
• 利用强逼近技术和函数中心极限定理论证，推导弱收敛结果。
• 通过控制过程在区间 $ [\mathfrak{h}_n, h_n] $ 上的振荡，实现带宽的一致性。
• 应用最大不等式与熵方法，控制过程在带宽范围上的上确界。
• 证明在所述 $ h_n $ 增长条件下，极限过程为标准布朗运动。

实验结果

研究问题

• RQ1 当带宽 $ h $ 在收缩区间 $ [\mathfrak{h}_n, h_n] $ 上均匀变化时，局部均匀经验过程 $ \mathcal{D}_{n,h,t} $ 的函数极限行为是什么？
• RQ2 在条件 $ n h_n / \log\log n \to \infty $ 下，$ \mathcal{D}_{n,h,t} $ 沿 $ h $ 的收敛行为在 $ n \to \infty $ 时如何保持一致？
• RQ3 能否为尾部经验过程建立一个在带宽范围内一致成立的函数中心极限定理？
• RQ4 当带宽缓慢减小时，局部经验过程在尾部区域的极限分布是什么？
• RQ5 在何种条件下，过程 $ \mathcal{D}_{n,h,t} $ 沿 $ h $ 一致弱收敛于标准布朗运动？

主要发现

• 在条件 $ n h_n / \log\log n \to \infty $ 且 $ h_n \to 0 $ 下，局部经验过程 $ \mathcal{D}_{n,h,t} $ 沿 $ h \in [\mathfrak{h}_n, h_n] $ 一致弱收敛于标准布朗运动。
• 收敛性在带宽范围内一致，使得在平滑参数变化的非参数统计推断中具有鲁棒性。
• 该结果对固定的 $ t \in [0,1) $ 成立，意味着在均匀分布上端附近尾部行为可由布朗运动良好近似。
• 增长条件 $ n h_n / \log\log n \to \infty $ 是紧的，因为它确保了函数中心极限定理成立所需的足够局部样本量。
• 函数极限定理在 $ [0,1] $ 上连续函数空间中建立，收敛在一致范数下按分布成立。
• 通过反概率积分变换，该分析可推广至分位数过程，表明尾部分位数过程也具有类似的带宽一致结果。