[论文解读] Some very non-K\"ahler manifolds: the Fr\"olicher spectral sequence can be arbitrarily non degenerate

Sönke Rollenske|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2007

Geometry and complex manifolds被引用 3

一句话总结

该论文针对每个 n ≥ 2 构造了一个紧致复的幂零流形 Xn，其具有左不变复结构，使得 Frölicher 族谱序列的第 n 个微分 dn 不为零。通过利用幂零流形的代数结构并显式计算族谱序列，作者证明了 Frölicher 族谱序列可以具有任意高的非退化性，从而解决了复几何中关于高阶非退化性的长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

Abstract. The Frölicher spectral sequence of a compact complex manifold X measures the difference between Dolbeault cohomology and de Rham cohomology. If X is Kähler then we have the Hodge decomposition and the spectral sequence collapses at the E1 term. After the Iwasawa manifold few other examples for higher order non-vanishing phenomena were found; in particular no example with dn ̸ = 0 for n> 3 has been described in the literature. We construct for n ≥ 2 nilmanifolds with left-invariant complex structure Xn such that the n-th differential dn does not vanish. This answers a question mentioned in the book of Griffith and Harris. AMS Subject classification: 53C56; (55T99, 22E25, 58A14) Introduction. Let X be a compact complex manifold and A p,q be the sheaf of smooth differential (p, q)-forms. The decomposition of the exterior differential d = ∂ + ¯ ∂ gives rise to a double complex (A p,q (X), ∂, ¯ ∂). The columns of this double complex

研究动机与目标

• 解决 Frölicher 族谱序列在 E1 项之后仍不退化的显式例子缺乏的问题。
• 解决 Griffiths 和 Harris 所著书籍中提出的问题，即关于存在非退化微分 dn（n > 3）的流形的存在性。
• 构造具有左不变复结构的紧致复幂零流形，使得 Frölicher 族谱序列的第 n 个微分 dn 非零。
• 证明 Frölicher 族谱序列的非退化性可以达到任意高度，即对任意 n ≥ 2，均存在一个流形使得 dn ≠ 0。

提出的方法

• 针对每个 n ≥ 2 构造一族具有左不变复结构的幂零流形 Xn。
• 利用与 Xn 的德拉姆上同调和 Dolbeault 上同调相关的双复形 (A^{p,q}(X), ∂, ∂̄)。
• 通过幂零流形的李代数的内在代数结构计算 Frölicher 族谱序列。
• 通过双复形上的显式上同调计算分析族谱序列中的微分 dn。
• 利用幂零流形上具有左不变复结构的族谱序列可通过 Chevalley–Eilenberg 复形代数计算的事实。
• 通过构造显式的非平凡上同调类，这些类在 En 页存活但不在 En+1 页消失，证明对每个 n ≥ 2，第 n 个微分 dn 非零。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于紧致复流形，Frölicher 族谱序列是否可以在任意高的页上保持非退化？
• RQ2 是否存在紧致复流形的显式例子，使得 dn ≠ 0（n > 3）？
• RQ3 具有左不变复结构的幂零流形能否实现 Frölicher 族谱序列中任意高的非退化性？
• RQ4 从微分指标 n 的角度，Frölicher 族谱序列的最大可能非退化程度是什么？
• RQ5 幂零流形的李代数的代数结构如何影响 Frölicher 族谱序列的行为？

主要发现

• 对于每个整数 n ≥ 2，本文构造了一个具有左不变复结构的紧致复幂零流形 Xn，使得 Frölicher 族谱序列的第 n 个微分 dn 非零。
• 该构造首次提供了紧致复流形的显式例子，其 Frölicher 族谱序列在 En 页（n ≥ 2）均不退化。
• 通过在微分形式的双复形上进行显式上同调计算，证明了 dn 的非退化性。
• 结果表明，族谱序列可以具有任意高的非退化性，即不存在退化页的统一上界。
• 该构造证实了霍奇分解不仅在通常的非凯勒意义下不成立，而且以一种强而高阶的方式失效。
• 本文解决了 Griffiths 和 Harris 所著书籍中关于此类高阶非退化现象存在性的开放问题。