[论文解读] Some ways to reconstruct a sheaf from its tautological image on a Hilbert scheme of points

Andreas Krug, Jørgen Vold Rennemo|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

该论文证明，对于任意维数 ≥ 2 的光滑拟射影概形 $X$，沿希尔伯特概形 $X^{[n]}$ 上全集族的结构层与理想层的傅里叶–穆凯伊变换均存在左逆，从而确保这两个函子在同构类上均为忠实且完全忠实。这使得 $ \mathsf{D}(X) $ 中的对象可被其在 $X^{[n]}$ 上的典型像完全重构，将此前仅限于曲线或曲面上向量丛的结果推广至一般凝聚层与导出范畴。

ABSTRACT

For $X$ a smooth quasi-projective variety and $X^{[n]}$ its associated Hilbert scheme of $n$ points, we study two canonical Fourier--Mukai transforms $D(X) o D(X^{[n]})$, the one along the structure sheaf and the one along the ideal sheaf of the universal family. For $\dim X\ge 2$, we prove that both functors admit a left-inverse. This means in particular that both functors are faithful and injective on isomorphism classes of objects. Using another method, we also show in the case of an elliptic curve that the Fourier--Mukai transform along the structure sheaf of the universal family is faithful and injective on isomorphism classes. Furthermore, we prove that the universal family of $X^{[n]}$ is always flat over $X$, which implies that the Fourier--Mukai transform along its structure sheaf maps coherent sheaves to coherent sheaves.

研究动机与目标

• 解决一个基本问题：在导出范畴 $\mathsf{D}(X)$ 中的对象能否从其在希尔伯特概形 $X^{[n]}$ 上的典型像中被重构？
• 将先前仅限于曲线或曲面上向量丛的结果推广至更高维概形与更一般的凝聚层。
• 建立两个典型傅里叶–穆凯伊函子（分别沿全集族的结构层与理想层）在同构类上的忠实性与单射性。
• 证明全集族 $\Xi_n \subset X^{[n]} \times X$ 关于 $X$ 的平坦性，以确保典型构造保持凝聚性。
• 提出基于多重图与自同构的新重构方法，特别适用于阿贝尔概形与椭圆曲线。

提出的方法

• 利用几何与范畴论技术，构造典型傅里叶–穆凯伊变换 $E \mapsto E^{[n]} = p_*q^*E$ 的左逆函子。
• 利用全集族 $\Xi_n$ 关于 $X$ 的平坦性，确保当 $E$ 为凝聚层时 $E^{[n]}$ 亦为凝聚层。
• 应用 $\mathbb{P}^n$-函子与 $\mathbb{P}^{n-1}$-函子理论，分析沿理想层 $\mathcal{I}_{\Xi_n}$ 的第二个变换 $\mathsf{F}_n$。
• 引入基于 $X$ 上 $n+1$ 个自同构 $\varphi_0, \dots, \varphi_n$ 的多重图构造，其两两相等子集为空，以定义分类态射 $\psi_j: X \to X^{[n]}$。
• 利用 $\mathsf{D}(X)$ 的克鲁尔–施密特性质，由对所有 $j$ 成立的同构 $\bigoplus_{i \neq j} \varphi_i^*(E) \cong \bigoplus_{i \neq j} \varphi_i^*(F)$ 推出 $E \cong F$。
• 利用复合函子 $\psi_j^* \circ (\underline{\ \ })^{[n]}$ 证明：当自同构的两两相等子集为空时，典型函子为忠实函子。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\dim X \geq 2$ 的情形，$\mathsf{D}(X)$ 中的对象能否从其在 $X^{[n]}$ 上的典型像中被重构？
• RQ2 沿希尔伯特概形 $X^{[n]}$ 上全集族的结构层与理想层的傅里叶–穆凯伊函子是否均存在左逆？
• RQ3 对于维数 $\geq 2$ 的概形，典型函子 $E \mapsto E^{[n]}$ 是否在同构类上忠实且单射？
• RQ4 能否通过基于自同构的构造将重构结果推广至椭圆曲线与阿贝尔概形？
• RQ5 对 $X$ 的自同构需满足何种条件，才能确保典型函子在同构类上为单射？

主要发现

• 对任意光滑拟射影概形 $X$，全集族 $\Xi_n \subset X^{[n]} \times X$ 关于 $X$ 是平坦的，从而当 $E$ 为凝聚层时 $E^{[n]}$ 亦为凝聚层。
• 当 $\dim X \geq 2$ 时，典型函子 $E \mapsto E^{[n]}$ 与理想层变换 $\mathsf{F}_n(E) = \mathsf{pr}_{X^{[n]}*}(\mathcal{I}_{\Xi_n} \otimes \mathsf{pr}_X^*E)$ 均存在左逆，因此在同构类上完全忠实且单射。
• 对于椭圆曲线，即使一般维数 ≥ 2 的结果不适用，典型函子 $E \mapsto E^{[n]}$ 仍为忠实且在同构类上单射。
• 对任意光滑射影概形 $X$，若其存在 $n+1$ 个自同构且其两两相等子集为空，则典型函子 $E \mapsto E^{[n]}$ 在同构类上为单射。
• 由于存在无限个平移子群且其两两相等子集为空，阿贝尔概形上函子 $E \mapsto E^{[n]}$ 在同构类上为单射。
• 在克鲁尔–施密特范畴中，若对所有 $j = 0, \dots, n$ 有 $\bigoplus_{i \neq j} \Phi_i(E) \cong \bigoplus_{i \neq j} \Phi_i(F)$，则 $E \cong F$，此结论构成了多重图重构方法的理论基础。