[论文解读] Sorted Range Reporting

Yakov Nekrich, Gonzalo Navarro|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2012

Algorithms and Data Compression参考文献 19被引用 10

一句话总结

本文提出了一种用于正交范围查询中有序范围报告的高效数据结构，其中点按 x 坐标的递增顺序报告。通过将紧凑范围树与 van Emde Boas 风格的递归及秩-选择结构结合，作者实现了 $ O("log ext{log} n + k) $ 的最优查询时间，空间复杂度为 $ O(n\log^\varepsilon n) $，优于先前在范围后继和有序报告问题上的结果。

ABSTRACT

In this paper we consider a variant of the orthogonal range reporting problem when all points should be reported in the sorted order of their $x$-coordinates. We show that reporting two-dimensional points with this additional condition can be organized (almost) as efficiently as the standard range reporting. Moreover, our results generalize and improve the previously known results for the orthogonal range successor problem and can be used to obtain better solutions for some stringology problems.

研究动机与目标

• 设计支持正交范围报告的数据结构，使报告的点按 x 坐标有序排列。
• 改进正交范围后继问题的时间与空间复杂度，该问题是有序报告的一个特例。
• 通过有序范围报告，推广并增强现有在字符串算法与几何问题上的解决方案。
• 在现实空间约束下，实现有序范围报告的最优查询时间。

提出的方法

• 作者使用紧凑范围树以减少空间使用，同时保持对每个节点处 y 坐标有序点列表的高效访问。
• 他们整合 van Emde Boas 数据结构，通过递归划分 x 坐标空间来加速范围后继查询。
• 该方法通过压缩表示支持 $ noderange(c,d,v) $ 和 $ point(v,i) $ 操作，时间复杂度为 $ O(g(n)) $，空间复杂度为 $ O(n f(n)) $。
• 为实现最优查询时间，他们将 $ O(n\log^\varepsilon n) $ 空间结构与秩-选择数据结构及范围最小值查询结合，支持 $ O(\log\log n + k) $ 时间的报告。
• 该方法利用字符串算法问题的归约，例如有序子串搜索，通过将其建模为有序范围报告查询。
• 基于 van Emde Boas 结构的优先队列被用于在查询处理期间维护并提取按字典序排列的点。

实验结果

研究问题

• RQ1 当输出必须按 x 坐标排序时，正交范围报告能否实现高效？
• RQ2 对于有序范围报告，空间与查询时间之间的最优权衡是什么？
• RQ3 能否在使用线性空间的前提下，使范围后继问题的求解速度优于先前的 $ O(\log n / \log\log n) $ 时间？
• RQ4 如何利用有序范围报告改进字符串索引与几何问题的解决方案？

主要发现

• 本文提出了一种使用 $ O(n) $ 空间的数据结构，支持 $ O((k+1)\log^\varepsilon n) $ 时间的有序范围报告，优于先前 $ O(\log n / \log\log n) $ 时间的结构。
• 第二种结构使用 $ O(n\log\log n) $ 空间，查询时间复杂度为 $ O((k+1)(\log\log n)^2) $，提供了更优的时间-空间权衡。
• 通过使用 $ O(n\log^\varepsilon n) $ 空间和 $ O(\log\log n + k) $ 查询时间，实现了最优解，与 $ O(n\log^{O(1)}n) $ 空间结构的已知下界一致。
• 结果可推广至范围后继问题，将查询时间从 $ O(\log n / \log\log n) $ 提升至 $ O(\log^\varepsilon n) $，同时保持线性空间。
• 该方法使字符串算法问题（如有序子串搜索）的解决方案得到改进，查询时间复杂度为 $ O(|P| + \mathrm{occ} \log^\varepsilon n) $，空间使用为 $ (1+1/\varepsilon)nH_k + O(n) $ 位。
• 通过将最大点报告和矩形可见性问题归约为范围后继查询，实现了 $ O(kg(n)) $ 时间复杂度，空间复杂度为 $ O(n f(n)) $。