[论文解读] Sorting Balls and Water: Equivalence and Computational Complexity

Takehiro Ito, Jun Kawahara+8 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

semigroups and automata theory被引用 3

一句话总结

本文建立了球排序谜题（BSP）与水排序谜题（WSP）之间的计算等价性，证明两者均为 NP-完全问题。研究显示，任何可解实例均存在长度为多项式的解序列，并针对所有配置类型，推导出保证可解性所需的最少空桶数量的紧致上下界，从而解决了这类流行排序谜题中的一个关键结构性约束。

ABSTRACT

Various forms of sorting problems have been studied over the years. Recently, two kinds of sorting puzzle apps are popularized. In these puzzles, we are given a set of bins filled with colored units, balls or water, and some empty bins. These puzzles allow us to move colored units from a bin to another when the colors involved match in some way or the target bin is empty. The goal of these puzzles is to sort all the color units in order. We investigate computational complexities of these puzzles. We first show that these two puzzles are essentially the same from the viewpoint of solvability. That is, an instance is sortable by ball-moves if and only if it is sortable by water-moves. We also show that every yes-instance has a solution of polynomial length, which implies that these puzzles belong to in NP. We then show that these puzzles are NP-complete. For some special cases, we give polynomial-time algorithms. We finally consider the number of empty bins sufficient for making all instances solvable and give non-trivial upper and lower bounds in terms of the number of filled bins and the capacity of bins.

研究动机与目标

• 研究球排序谜题（BSP）与水排序谜题（WSP）的计算复杂性，这两类是广受欢迎的休闲排序谜题。
• 确定在各自移动规则下，BSP 与 WSP 的可解性是否等价。
• 确立两个谜题的 NP-完全性，并分析寻找最短解序列的复杂性。
• 推导出在桶容量 h 与已填充桶数量 n 的条件下，使所有实例均可解所需的空桶数量的紧致上下界。
• 为特殊情况（如 h = 2 且颜色数等于 n）提供多项式时间算法。

提出的方法

• 通过分析移动序列的结构，证明 BSP 与 WSP 的等价性：即任何可通过水移动解决的实例，也可通过球移动解决，反之亦然。
• 证明任一谜题的“是”实例均存在长度为 n + h 的多项式时间解序列，从而将两个问题置于 NP 类中。
• 通过从 3-Partition 问题的归约，证明 BSP 与 WSP 的 NP-完全性；并使用修改版本的归约，证明即使在平凡“是”实例中寻找最短路径也是 NP-完全的。
• 通过构造极值配置并应用每种颜色移除单位数的递归不等式，分析使可解性成为可能所需的最少空桶数量。
• 利用极值组合论证与单位移除序列的递归界，推导出空桶数量 k(n,h) 的下界与上界。
• 针对 h = 2 且颜色数为 n 的情况，提供多项式时间算法，利用每只桶最多容纳两个单位的特性，并采用类似贪心桶排序的策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 球排序谜题与水排序谜题在可解性方面是否具有计算等价性？
• RQ2 判断给定初始配置是否可被整理为单色桶的决策问题，对两个谜题而言是否均为 NP-完全问题？
• RQ3 能否在多项式时间内找到水排序谜题平凡“是”实例的最短解序列？
• RQ4 为确保所有具有 n 个已填充桶（每桶容量为 h）的实例均可解，所需的最少空桶数量是多少？
• RQ5 所需空桶数量是否同时依赖于 h 与 n，还是在固定 h 时与 n 无关？

主要发现

• 球排序谜题（BSP）与水排序谜题（WSP）在计算上是等价的：一个实例可通过球移动解决，当且仅当它也可通过水移动解决。
• BSP 与 WSP 均为 NP-完全问题，即使在每桶仅含一种颜色且空桶数量极少的限制条件下亦成立。
• 任一谜题的“是”实例均存在长度为 n + h 的多项式时间解序列，从而证明其属于 NP 类。
• 当桶容量 h = 2 且颜色数等于 n 时，两个谜题均可在多项式时间 O(hn) 内求解。
• 为使所有实例均可解，所需的最少空桶数量的下界为 ⌈19/64 min{n, h}⌉，上界为 ⌈(h−1)/h n⌉。
• 下界 ⌈19/64 min{n, h}⌉ 是紧致的，其推导基于每种颜色从初始位置移除单位数的递归不等式，假设最坏情况配置。