[论文解读] Sorting Cayley permutations with pattern-avoiding machines

Giulio Cerbai|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2020

semigroups and automata theory参考文献 18被引用 11

一句话总结

本文通过将模式避免型栈机推广至Cayley排列——即允许重复元素的序列——并以模式类的形式刻画可排序排列，将模式避免型栈机推广至Cayley排列。通过引入一种基于$σ$-避免栈算子的新对合运算，本文完全刻画了乌龟式出栈可排序排列，其特征为禁止四个模式，证明其计数为$3^{n-1}$，而野兔式出栈可排序情况则留待未来工作进一步研究。

ABSTRACT

Pattern avoiding machines were recently introduced by Claesson, Ferrari and the current author to gain a better understanding of the classical $2$-stacksort problem. In this paper we generalize these devices by allowing permutations with repeated elements, also known as Cayley permutations. The main result is a description of those patterns such that the corresponding set of sortable permutations is a class. We also show a new involution on the set of Cayley permutations, obtained by regarding a pattern-avoiding stack as an operator. Finally, we analyze two generalizations of pop-stack sorting on Cayley permutations. In both cases we describe sortable permutations in terms of pattern avoidance.

研究动机与目标

• 将模式避免型机器理论从排列推广至允许重复元素的Cayley排列。
• 确定对于哪些禁止模式$\sigma$，由$\sigma$-受限栈可排序的排列集合构成组合类。
• 定义并分析由$\sigma$-避免栈与反转算子复合诱导的Cayley排列上的新对合运算。
• 通过两种变体——野兔与乌龟出栈排序——将出栈排序推广至Cayley排列。
• 利用禁止模式条件刻画这两种推广下可排序Cayley排列的集合。

提出的方法

• 本文将$\sigma$-避免栈定义为一种右贪心栈，其内容中禁止出现固定模式$\sigma$。
• 通过标记Dyck路径编码$\sigma$-避免栈的作用，从而实现对算子$\mathcal{S}^\sigma$的结构分析。
• 通过对$\mathcal{S}^\sigma$与反转算子复合构造对合运算，保持Cayley排列中元素的多重集不变。
• 对于乌龟式出栈排序，将输入划分为最大严格递减块，输出为按顺序连接的各块的逆序。
• 可排序排列的刻画依赖于对块结构及禁止模式（如$231$、$312$、$221$和$211$）的分析。
• 通过约束块起始位置与块内元素顺序的块分解计数方法，实现乌龟式出栈可排序排列的计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些模式$\sigma$，由$\sigma$-避免栈可排序的Cayley排列集合构成组合类？
• RQ2 哪些模式$\sigma$能产生双射的$\sigma$-避免栈算子$\mathcal{S}^\sigma$？
• RQ3 乌龟式出栈可排序Cayley排列的完整禁止模式集合是什么？
• RQ4 能否构建几何或组合模型以计数乌龟式出栈可排序Cayley排列？
• RQ5 野兔式出栈可排序Cayley排列的计数是多少？其结果是否匹配任何已知整数序列？

主要发现

• 由$\sigma$-避免栈可排序的Cayley排列集合构成一个类，当且仅当$\sigma$为$12$、$21$或$11$，其基集为单个或一对模式。
• 通过将$\sigma$-避免栈算子与反转算子复合，构造了Cayley排列上的新对合运算，保持元素多重集不变。
• 乌龟式出栈可排序Cayley排列的特征为避免四个模式：$231$、$312$、$221$和$211$。
• 长度为$n$的乌龟式出栈可排序Cayley排列的数量恰好为$3^{n-1}$，该结果通过块分解得出，其中$k$个块贡献$\binom{n-1}{k-1}2^{k-1}$种排列。
• 野兔式出栈可排序Cayley排列的计数仍为开放问题，其初始序列为$1, 3, 11, 41, 151, 553$，未匹配任何已知OEIS条目。
• 乌龟式出栈排序的结构约束为：块起始位置非递减，块内元素递增，且后续块中的元素不小于前一个块的起始值。