[论文解读] Sorting networks, staircase Young tableaux and last passage percolation

Elia Bisi, Fabio Deelan Cunden+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2020

Random Matrices and Applications参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文建立了三个随机过程——排序网络、最后通过渗滤和定向交换过程——之间令人惊讶的联系，通过RSK和Burge对应关系中的对偶性，证明了它们的最后通过时间与最后交换时间具有相同的分布。一个关于这些过程之间联系的猜想身份在 $ n \leq 6 $ 范围内通过计算得到验证，暗示了排序网络渐近行为下深层的组合结构。

ABSTRACT

We present new combinatorial and probabilistic identities relating three random processes: the oriented swap process on $n$ particles, the corner growth process, and the last passage percolation model. We prove one of the probabilistic identities, relating a random vector of last passage percolation times to its dual, using the duality between the Robinson-Schensted-Knuth and Burge correspondences. A second probabilistic identity, relating those two vectors to a vector of "last swap times" in the oriented swap process, is conjectural. We give a computer-assisted proof of this identity for $n\le 6$ after first reformulating it as a purely combinatorial identity, and discuss its relation to the Edelman-Greene correspondence.

研究动机与目标

• 建立排序网络中最后通过渗滤与定向交换过程之间的概率对偶性。
• 证明一个将最后通过渗滤时间与定向交换过程中的最后交换时间联系起来的分布恒等式。
• 提出并计算验证一个关于通过阶梯状杨表将定向交换过程与最后通过渗滤联系起来的猜想恒等式。
• 探讨该恒等式对定向交换过程中吸收时间渐近行为的影响。
• 在概率框架内统一组合结构——Edelman–Greene对应、RSK和Burge对应。

提出的方法

• 利用RSK与Burge对应之间的对偶性，证明其中一个主要的概率恒等式。
• 将猜想恒等式重新表述为涉及生成函数 $ F_n $ 和 $ G_n $ 的纯组合恒等式。
• 通过标准杨表和排序网络路径上的路径加权平均，计算 $ \bm{U}_n $ 和 $ \bm{V}_n $ 的联合密度函数。
• 将条件密度表示为指数分布密度的卷积，其速率由Cayley图和杨图图中顶点的出度决定。
• 通过傅里叶变换分析，将 $ \bm{U}_n $ 和 $ \bm{V}_n $ 的特征函数等同起来，将问题简化为验证 $ F_n = G_n $。
• 使用显式计算生成函数和路径枚举，通过计算机辅助验证猜想在 $ n \leq 6 $ 范围内成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 最后通过渗滤时间与定向交换过程中的最后交换时间是否具有相同的分布？
• RQ2 RSK与Burge对应之间的对偶性是否可用于证明将最后通过渗滤与定向交换过程联系起来的概率恒等式？
• RQ3 关于定向交换过程与最后通过渗滤之间联系的猜想恒等式是否对所有 $ n $ 成立，还是仅在有限范围内成立？
• RQ4 什么组合结构支撑了这三个过程之间观察到的分布等价性？
• RQ5 Edelman–Greene对应与猜想恒等式中的生成函数 $ F_n $ 和 $ G_n $ 有何关联？

主要发现

• 本文证明了通过RSK与Burge对应中的对偶性，最后通过渗滤向量 $ \bm{V}_n $ 与最后交换时间向量 $ \bm{U}_n $ 在分布上相等。
• 一个将 $ \bm{U}_n $ 与 $ \bm{V}_n $ 等同的猜想恒等式在 $ n \leq 6 $ 范围内通过计算得到验证，支持其在更大 $ n $ 下的成立性。
• $ \bm{U}_n $ 与 $ \bm{V}_n $ 的联合密度函数被表示为标准杨表和排序网络路径上的加权和，权重由顶点出度导出。
• 给定路径的条件密度是指数密度的卷积，其速率由路径的度序列决定。
• 通过指数密度的傅里叶变换，将概率恒等式简化为生成函数 $ F_n $ 与 $ G_n $ 之间的组合等式。
• 对于 $ n=4 $，显式计算了生成函数 $ F_4 $ 与 $ G_4 $，并证明其在恒等排列下相等，从而在该情况下确认了猜想。