[论文解读] Sorting with Recurrent Comparison Errors

Barbara Geissmann, Stefano Leucci+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文提出 Window Sort，一种新颖的 $O(n^2)$ 时间复杂度排序算法，适用于存在重复比较错误的情况，可在高概率下实现 $O(\log n)$ 的最大错位，且期望总错位为 $O(n)$。该算法采用滑动窗口机制计算局部秩，并迭代优化位置，同时证明了紧致的下界，表明在相同错误模型下，任何算法都无法实现 $o(\log n)$ 的最大错位或 $o(n)$ 的期望总错位。

ABSTRACT

We present a sorting algorithm for the case of recurrent random comparison errors. The algorithm essentially achieves simultaneously good properties of previous algorithms for sorting $n$ distinct elements in this model. In particular, it runs in $O(n^2)$ time, the maximum dislocation of the elements in the output is $O(\log n)$, while the total dislocation is $O(n)$. These guarantees are the best possible since we prove that even randomized algorithms cannot achieve $o(\log n)$ maximum dislocation with high probability, or $o(n)$ total dislocation in expectation, regardless of their running time.

研究动机与目标

• 设计一种排序算法，能够在存在重复比较错误的情况下，同时实现 $O(n^2)$ 的运行时间、高概率下的 $O(\log n)$ 最大错位，以及 $O(n)$ 的期望总错位。
• 弥合现有算法仅优化其中两项指标而无法同时优化全部三项指标的差距。
• 通过证明最大错位与总错位的紧致下界，分析在重复比较错误下排序的根本限制。
• 通过调整窗口缩小速率，将算法的错误容忍度从 $p < 1/32$ 扩展至 $p < 1/16$，同时控制性能下降。

提出的方法

• 该算法在元素上使用固定大小的滑动窗口，仅将每个元素与其窗口内的邻居进行比较，以计算其局部秩。
• 每次迭代后，窗口大小减半，元素根据其计算出的局部秩重新定位，以优化其全局位置。
• 通过概率集中不等式和对错误计数的精巧不变量，确保计算秩与真实秩之间的偏移保持有界。
• 在迭代过程中维护一个弱不变量，确保任意窗口内的错误数量以高概率低于阈值。
• 通过采用修改后的窗口缩小速率 $\alpha \in (1/2, 1)$，将错误容忍度扩展至 $p < \alpha/16$，同时将运行时间调整为 $O(\frac{1}{1-\alpha}n^2)$。
• 通过一个关键引理推导出下界：任何算法都必须以至少 $\frac{1}{2}(\frac{p}{1-p})^{2(y-x)-1}$ 的概率错误排序远距离元素，从而导出错位的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种排序算法，能够在存在重复比较错误的情况下，实现 $O(n^2)$ 的运行时间、高概率下的 $O(\log n)$ 最大错位，以及 $O(n)$ 的期望总错位？
• RQ2 在保持相同性能保证的前提下，是否能够将错误容忍度提升至超过 $p < 1/32$？
• RQ3 在存在重复比较错误的排序中，错位的根本限制是什么？
• RQ4 对于任意随机算法，是否可能使期望总错位低于 $o(n)$？

主要发现

• Window Sort 在错误概率 $p < 1/32$ 的条件下，实现了 $O(n^2)$ 的运行时间、高概率下的 $O(\log n)$ 最大错位，以及 $O(n)$ 的期望总错位。
• 通过调整窗口缩小速率 $\alpha$，算法可将错误容忍度扩展至 $p < 1/16$，运行时间为 $O(\frac{1}{1-\alpha}n^2)$。
• 每个元素的期望错位被限制在 $O(f(p)\log f(p))$ 以内，其中当 $p < 1/64$ 时，$f(p) = \frac{100p}{(1/2 - 16p)^2}$，从而得出 $O(\log n)$ 的最大错位。
• 本文证明了紧致下界：在重复错误下，任何算法都无法实现 $o(\log n)$ 的最大错位（高概率下）。
• 同时证明了任何算法都无法实现期望总错位 $o(n)$，从而确立了 $O(n)$ 是期望总错位的最佳可能上界。
• 实验结果表明，该算法的实际表现优于理论分析：当 $p < 1/5$ 时，期望总错位为 $O(n)$；当 $p < 1/4$ 时，最大错位为 $O(\log n)$。