[论文解读] SOS approximations of nonnegative polynomials via simple high degree perturbation

Jean B. Lasserre, Tim Netzer|ArXiv.org|Oct 21, 2005

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文提出了一种简单且显式的高阶扰动方法，用于在 $[-1,1]^n$ 或某些半代数集上，通过高次多项式扰动，以平方和（SOS）形式近似任意非负多项式。通过添加 $\varepsilon \Theta_r = \varepsilon(1 + \sum X_j^{2r})$ 的小倍数，当 $r$ 足够大时，所得多项式成为 SOS，从而实现基于 SOS 的非负性认证与系数 $\ell_1$-范数下的有效近似。

ABSTRACT

We show that every real polynomial $f$ nonnegative on $[-1,1]^{n}$ can be approximated in the $l_{1}$-norm of coefficients, by a sequence of polynomials $\{f_{\ep r}\}$ that are sums of squares. This complements the existence of s.o.s. approximations in the denseness result of Berg, Christensen and Ressel, as we provide a very simple and extit{explicit} approximation sequence. Then we show that if the Moment Problem holds for a basic closed semi-algebraic set $K_S\subset\R^n$ with nonempty interior, then every polynomial nonnegative on $K_S$ can be approximated in a similar fashion by elements from the corresponding preordering. Finally, we show that the degree of the perturbation in the approximating sequence depends on $ε$ as well as the degree and the size of coefficients of the nonnegative polynomial $f$, but not on the specific values of its coefficients.

研究动机与目标

• 为在 $[-1,1]^n$ 上非负的多项式提供一种显式且可构造的 SOS 近似序列，克服以往存在性结果的非构造性缺陷。
• 在 Moment Problem 假设下，将 SOS 近似框架扩展至基本闭半代数集 $K_S$ 上的非负多项式。
• 刻画使所需扰动次数 $r$ 仅依赖于 $\varepsilon$、多项式次数及系数大小，而与系数具体取值无关的依赖关系。

提出的方法

• 引入扰动多项式 $\Theta_r = 1 + \sum_{j=1}^n X_j^{2r}$，构造 $f_{\varepsilon r} = f + \varepsilon \Theta_r$，当 $r$ 足够大时，该多项式成为平方和。
• 利用线性泛函技术与单项式上的正定性约束，对 $\mathcal{A}_{2r}$ 上的线性泛函取值进行有界，确保扰动后多项式属于 SOS 锥。
• 证明使 $f + \varepsilon_r^* \Theta_r$ 成为 SOS 的最小 $\varepsilon_r^*$ 可由涉及 $\mathcal{A}_{2r}$ 上线性泛函的有限维半定规划表征。
• 通过使用 $\theta_r = \sum_{j=1}^n \sum_{k=0}^r \frac{X_j^{2k}}{k!}$，将扰动方法推广至一般半代数集 $K_S$，确保当 $r$ 足够大时，$f_{\varepsilon r} \in T_S$（预序锥）。
• 证明扰动次数 $r$ 仅依赖于 $\varepsilon$、$n$、$f$ 的次数及其系数大小，而与 $f$ 的具体系数值无关。
• 利用归纳法与矩不等式，对满足正定性约束下的混合单项式矩进行有界，确保对近似误差的统一控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为在 $[-1,1]^n$ 上非负的多项式提供一种超越存在性结果的构造性、显式 SOS 近似序列？
• RQ2 当 $S$ 满足 Moment Problem 时，SOS 近似性质是否可扩展至基本闭半代数集 $K_S$ 上的非负多项式？
• RQ3 使 $f + \varepsilon \Theta_r$ 成为平方和所需的最小扰动次数 $r$ 由什么决定？
• RQ4 所需扰动次数 $r$ 如何依赖于输入多项式 $f$ 和近似容差 $\varepsilon$？
• RQ5 能否选择扰动方式，使得 $f_{\varepsilon r}$ 属于预序锥 $T_S$，从而在 $K_S$ 上提供非负性证书？

主要发现

• 对于任意在 $[-1,1]^n$ 上非负的多项式 $f$，当 $r$ 足够大时，扰动多项式 $f_{\varepsilon r} = f + \varepsilon \Theta_r$ 成为平方和，且满足 $\|f_{\varepsilon r} - f\|_1 \to 0$ 当 $\varepsilon \to 0$。
• 使 $f + \varepsilon_r^* \Theta_r$ 成为 SOS 的最小 $\varepsilon_r^*$ 可表征为一个有限维半定规划的解，涉及 $\mathcal{A}_{2r}$ 上的线性泛函，约束条件为 $L(\Theta_r) \leq 1$ 且对所有 $h \in \mathcal{A}_r$ 有 $L(h^2) \geq 0$。
• 对于具有非空内部且满足 Moment Problem 的基本闭半代数集 $K_S$ 上的非负多项式，当 $r$ 足够大时，$f_{\varepsilon r} = f + \varepsilon \theta_r$ 属于预序锥 $T_S$，从而提供非负性证书。
• 所需扰动次数 $r$ 仅依赖于 $\varepsilon$、维度 $n$、$f$ 的次数及其系数大小，而与 $f$ 的具体系数值无关。
• 该方法避免了使用如 Nussbaum 定理等深奥结果，提供了比以往方法（包括文献 [7] 和 [8] 中的方法）更简单、更直接的证明。
• 近似在 $[-1,1]^n$ 上是一致的，且扰动项 $\theta_r$ 确保 $T_S$ 中的成员蕴含在 $K_S$ 上的非负性，从而支持非负性问题的算法检测。