[论文解读] SOS-Hankel Tensors: Theory and Application

Guoyin Li, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 37被引用 25

一句话总结

本文引入了SOS-Hankel张量——即为平方和（SOS）的Hankel张量，因此可保证为半正定。研究证明，偶数阶完全Hankel张量和强Hankel张量均为SOS-Hankel张量，并提出了一种用于半正定Hankel张量补全的ADMM算法，若所有半正定Hankel张量均为SOS-Hankel张量，则该问题具有多项式时间可解性。

ABSTRACT

Hankel tensors arise from signal processing and some other applications. SOS (sum-of-squares) tensors are positive semi-definite symmetric tensors, but not vice versa. The problem for determining an even order symmetric tensor is an SOS tensor or not is equivalent to solving a semi-infinite linear programming problem, which can be done in polynomial time. On the other hand, the problem for determining an even order symmetric tensor is positive semi-definite or not is NP-hard. In this paper, we study SOS-Hankel tensors. Currently, there are two known positive semi-definite Hankel tensor classes: even order complete Hankel tensors and even order strong Hankel tensors. We show complete Hankel tensors are strong Hankel tensors, and even order strong Hankel tensors are SOS-Hankel tensors. We give several examples of positive semi-definite Hankel tensors, which are not strong Hankel tensors. However, all of them are still SOS-Hankel tensors. Does there exist a positive semi-definite non-SOS-Hankel tensor? The answer to this question remains open. If the answer to this question is no, then the problem for determining an even order Hankel tensor is positive semi-definite or not is solvable in polynomial-time. An application of SOS-Hankel tensors to the positive semi-definite tensor completion problem is discussed. We present an ADMM algorithm for solving this problem. Some preliminary numerical results on this algorithm are reported.

研究动机与目标

• 研究半正定Hankel张量与SOS张量之间的关系，特别是所有半正定Hankel张量是否均为SOS-Hankel张量。
• 证明偶数阶完全Hankel张量和强Hankel张量均为SOS-Hankel张量，从而识别出新的多项式时间可解类。
• 开发并测试一种基于ADMM的算法，以求解半正定Hankel张量补全问题。
• 探讨SOS-Hankel张量框架对降低张量正定性验证计算复杂度的潜在影响。

提出的方法

• 引入完全可分解张量的概念，证明偶数阶完全可分解张量为SOS张量。
• 证明完全Hankel张量为强Hankel张量，且强Hankel张量为完全可分解张量，从而建立层级关系：完全 ⇒ 强 ⇒ SOS-Hankel。
• 利用半无限规划与半定规划验证SOS性质，利用SOS张量检测在多项式时间内可解的特性。
• 为半正定Hankel张量补全问题（TCP）提出一种ADMM算法，通过奇异值阈值化方法更新张量变量A。
• 采用ADMM子问题更新公式：$ A^{k+1} = \arg\min_{A \succeq 0} \left\{ \frac{\rho}{2} \| A + \frac{1}{\rho}(\mu I_l + Z^{k-1}) - M v^k \|^2 \right\} $，通过SVD求解。
• 在数值测试中设定参数 $ \mu = 0.1 $，$ \rho = 10 $，验证了算法的收敛性与效率，适用于合成张量实例。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有偶数阶半正定Hankel张量是否也均为SOS-Hankel张量？
• RQ2 SOS-Hankel张量的类是否严格大于完全Hankel张量与强Hankel张量的类？
• RQ3 若所有此类张量均为SOS-Hankel张量，则判断偶数阶Hankel张量正定性的问题是多项式时间可解的吗？
• RQ4 ADMM算法在求解半正定Hankel张量补全问题方面效果如何？
• RQ5 ADMM解生成的Hankel矩阵的秩结构是什么？其对张量可分解性有何含义？

主要发现

• 偶数阶完全Hankel张量是强Hankel张量的子集，而强Hankel张量又是SOS-Hankel张量的子集。
• 存在并非强Hankel张量的SOS-Hankel张量，表明其类严格大于以往已知的半正定Hankel张量类。
• ADMM算法在数值测试中成功完成了半正定Hankel张量补全问题，以 $ \mu = 0.1 $，$ \rho = 10 $ 参数高效收敛。
• 在第一组测试中，生成向量 $ v $ 产生了一个秩-1的Hankel矩阵，表明其具有简单的SOS分解结构。
• 在第二组测试中，生成向量产生了一个秩-2的Hankel矩阵，表明该方法可处理更高秩结构。
• 尚未解决的问题是：是否存在一个半正定Hankel张量不是SOS-Hankel张量？若不存在，则Hankel张量正定性问题将变为多项式时间可判定。