[论文解读] Sp(2n,R) electric-magnetic duality as off-shell symmetry of interacting electromagnetic and scalar fields

Claudio Bunster, Marc Henneaux|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文证明了在相互作用的电磁场与标量场系统中，$Sp(2n,\mathbb{R})$ 电-磁对偶性是一种非守恒对称性，扩展了先前关于自由麦克斯韦理论中 $SO(2)$ 对偶性的结果。通过在包含对偶势的首阶哈密顿框架下表述理论，作者表明，完整的 $Sp(2n,\mathbb{R})$ 对称性——对单个麦克斯韦场通过 $SL(2,\mathbb{R})$ 实现，并推广至 $n$ 个场——精确地保持作用量不变，而不仅限于运动方程，其结果对最大超引力及 $p$-形式中的扭曲自对偶性具有重要意义。

ABSTRACT

It was established long ago that SO(2) electric-magnetic duality is an {\em off-shell} symmetry of the free Maxwell theory, i.e., that it leaves invariant the action and not just the equations of motion. We review here that analysis and extend it to the Maxwell field coupled to scalar fields defined on the $SL(2,\mathbb{R})/SO(2)$ coset space, showing that $SL(2,\mathbb{R})$ is in that case an {\em off-shell} symmetry. We also show how the result can be generalized to many Maxwell fields and $Sp(2n, \mathbb{R})$ duality symmetry - or a subgroup of it, recovering in particular the case of maximal supergravity in four dimensions with $E_{7,7}$ symmetry. We finally indicate further possible extensions to twisted self-duality equations for $p$-forms, including Chern-Simons terms and Pauli couplings, as well as linearized gravity, which will be treated in depth elsewhere.

研究动机与目标

• 将已知的自由麦克斯韦理论中非守恒 $SO(2)$ 对偶性对称性推广至与标量场相互作用的系统。
• 证明当麦克斯韦场耦合到标量场并位于 $SL(2,\mathbb{R})/SO(2)$ 共轭空间时，$SL(2,\mathbb{R})$ 对偶性仍为非守恒对称性。
• 将此结果推广至 $n$ 个相互作用的麦克斯韦场，表明完整的 $Sp(2n,\mathbb{R})$ 群作为非守恒对称性作用于作用量。
• 建立该对称性在保罗伊耦合、陈-西蒙斯项及扭曲自对偶性条件下的不变性，保持变分原理成立。
• 阐明 $Sp(2n,\mathbb{R})$ 对称性为最大对称性，且由于群嵌入障碍，无法通过标准杨-米尔斯方法实现规范化。

提出的方法

• 通过引入向量势 $A^a_i$ 的共轭动量 $\pi^i_a$，在首阶哈密顿形式中表述电磁理论。
• 引入第二组向量势 $Z^a_i$ 以求解高斯定律约束，从而在 $A^a_\mu$ 和 $Z^a_\mu$ 的表达下实现作用量的显式对偶不变性。
• 从首阶形式推导出二阶作用量 $S^V[A^a_\mu]$，其动能项与对偶项由依赖于标量场 $\varphi^i$ 的 $\mu_{ab}(\varphi^i)$ 和 $\nu_{ab}(\varphi^i)$ 参数化。
• 证明当标量场位于 $Sp(2n,\mathbb{R})/U(n)$ 共轭空间时，所得作用量在 $Sp(2n,\mathbb{R})$ 变换下不变，且对称性在非守恒意义下实现。
• 利用诺特定理与路径积分形式，确保量子一致性，利用对称性的非守恒性质。
• 通过验证动能项与对偶项的变分是全微分，分析作用量在无穷小对偶变换下的不变性，从而确保非守恒不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当麦克斯韦场耦合到位于 $SL(2,\mathbb{R})/SO(2)$ 上的标量场时，$SL(2,\mathbb{R})$ 电-磁对偶性是否为非守恒对称性？
• RQ2 能否将 $Sp(2n,\mathbb{R})$ 对偶性对称性推广至与标量场耦合的 $n$ 个相互作用麦克斯韦场，并且该对称性是否为非守恒的？
• RQ3 当引入额外耦合（如保罗伊耦合或陈-西蒙斯项）时，非守恒对偶性对称性是否仍然保持？
• RQ4 为何 $Sp(2n,\mathbb{R})$ 对称性为最大对称性，且无法通过标准杨-米尔斯方法实现规范化？
• RQ5 能否使 $p$-形式中扭曲自对偶方程的变分原理如麦克斯韦情形一样显式对偶不变？

主要发现

• 麦克斯韦-标量系统的 $SL(2,\mathbb{R})$ 对偶性对称性是非守恒对称性，即作用量在未施加运动方程之前即对对偶变换不变。
• 通过引入对偶势 $Z^a_i$ 的首阶哈密顿形式，非守恒不变性得以确立，该形式解决了高斯定律并实现了显式对偶不变性。
• 对于位于 $Sp(2n,\mathbb{R})/U(n)$ 共轭空间中的 $n$ 个与标量场耦合的相互作用麦克斯韦场，完整的 $Sp(2n,\mathbb{R})$ 群作为作用量的非守恒对称性发挥作用。
• 该对称性在保罗伊耦合与陈-西蒙斯项下仍保持不变，这些项维持了作用量变分的全微分结构。
• $Sp(2n,\mathbb{R})$ 对称性为最大对称性，因为若动能项依赖于标量场将破坏规范不变性。
• 由于伴随表示中的群嵌入障碍，即使在标量耦合下，通过标准杨-米尔斯方法规范化 $Sp(2n,\mathbb{R})$ 对偶性对称性的不可能性依然存在。