[论文解读] Space and time dimensions of algebras with applications to Lorentzian noncommutative geometry and quantum electrodynamics

Nadir Bizi, Christian Brouder+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2016

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的模 8 空间与时间维度分配方法，适用于配备两个自伴对合算符和一个满足特定对易关系的反酉算符的复 *C*-代数，从而推广了 $KO$-维数概念。该框架通过克雷因空间实现了非交换几何的伪黎曼化，成功构建了量子电动力学的洛伦兹谱三元组，并在不引起费米子加倍问题的前提下推导出其物理拉格朗日量。

ABSTRACT

An analogy with real Clifford algebras on even-dimensional vector spaces suggests to assign a couple of space and time dimensions modulo 8 to any algebra (represented over a complex Hilbert space) containing two self-adjoint involutions and an anti-unitary operator with specific commutation relations. It is shown that this assignment is compatible with the tensor product: the space and time dimensions of the tensor product are the sums of the space and time dimensions of its factors. This could provide an interpretation of the presence of such algebras in PT-symmetric Hamiltonians or the description of topological matter. This construction is used to build an indefinite (i.e. pseudo-Riemannian) version of the spectral triples of noncommutative geometry, defined over Krein spaces instead of Hilbert spaces. Within this framework, we can express the Lagrangian (both bosonic and fermionic) of a Lorentzian almost-commutative spectral triple. We exhibit a space of physical states that solves the fermion-doubling problem. The example of quantum electrodynamics is described.

研究动机与目标

• 通过将模 8 的时空维度分配给代数，将 $KO$-维数概念从黎曼几何推广至伪黎曼（洛伦兹）非交换几何。
• 通过利用基本对称性定义物理态空间，解决洛伦兹谱三元组中的费米子加倍问题。
• 为洛伦兹几乎交换几何构建一个一致的不定（基于克雷因空间）谱三元组。
• 在此框架内推导出量子电动力学（QED）的物理拉格朗日量，使其与标准物理形式一致。
• 确保维度分配与代数的分次张量积相容，从而在复合系统中保持一致性。

提出的方法

• 通过 chirality 算符 $\chi$、基本对称性 $\eta$ 和电荷共轭 $J$ 之间的对易关系导出的三个符号，将模 8 的时空维度分配给代数。
• 使用克雷因空间而非希尔伯特空间来定义不定谱三元组，从而允许非正定内积，这是洛伦兹符号所必需的。
• 在洛伦兹情形下，将狄拉克算符 $D(A)$ 构造为 $D - q\gamma^\mu A_\mu \otimes \varpi$，通过表示 $\pi$ 引入规范势。
• 将康奈斯-洛特-埃尔斯纳（CLE）拉格朗日量定义为 $\mathcal{L}_{\mathrm{CLE}} = \mathrm{Tr}_z(\theta^\times \theta) + \frac{1}{2}(\Psi, D(A)\Psi)$，其中正定权 $z$ 用于解决迹的歧义性。
• 利用基本对称性 $\eta$ 和电荷共轭 $J$，确保粒子与反粒子具有相同质量且电流相反，而无需假设反对易关系。
• 验证在选择 $\rho = 1/(32q^2)$ 后，玻色子拉格朗日量 $\mathcal{L}_b = -8\rho q^2 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ 变为物理形式，与标准 QED 一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于代数结构，为不定（伪黎曼）谱三元组定义广义的 $KO$-维数概念？
• RQ2 在洛伦兹非交换几何中，如何解决费米子加倍问题？
• RQ3 能否为量子电动力学构建一个一致的洛伦兹版本的康奈斯-洛特谱作用？
• RQ4 代数的模 8 维度分配在代数的分次张量积下是否仍保持相容性？
• RQ5 能否在不依赖反对易关系的前提下，从基于克雷因空间的谱三元组推导出物理 QED 拉格朗日量？

主要发现

• 任何包含两个自伴对合算符和一个满足特定对易关系的反酉算符的代数，其模 8 的时空维度均可一致地分配。
• 维度分配与分次张量积相容：$A_1 \hat{\otimes} A_2$ 的维度等于 $A_1$ 与 $A_2$ 维度之和模 8。
• 通过基本对称性 $\eta$ 构建了物理态空间，成功解决了洛伦兹谱三元组中的费米子加倍问题。
• 成功定义了 QED 的洛伦兹谱三元组，其拉格朗日量在使用正权 $z$ 进行迹正则化后，与标准物理形式一致。
• 费米子和规范拉格朗日量的推导未假设反对易关系；粒子-反粒子对称性源于 $J$ 和 $\eta$ 的代数结构。
• 玻色子拉格朗日量变为 $\mathcal{L}_b = -8\rho q^2 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$，当设定 $\rho = 1/(32q^2)$ 时，可恢复标准的物理形式 $-F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$。