[论文解读] Space-bounded quantum state testing via space-efficient quantum singular value transformation

François Le Gall, Yupan Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文通过量子态测试引入自然且完备的问题，对有空间限制的量子计算进行了新颖表征，涵盖单边误差（coRQL）和双边误差（BQL）设置。通过引入空间高效的量子奇异值变换（QSVT），证明了迹距离、希尔伯特-施密特距离和熵差的有空间限制态测试与态制备一样容易，进而通过对数空间Karp归约建立完备性与紧致的复杂度界限。

ABSTRACT

Driven by exploring the power of quantum computation with a limited number of qubits, we present a novel complete characterization for space-bounded quantum computation, which encompasses settings with one-sided error (unitary coRQL) and two-sided error (BQL), approached from a quantum state testing perspective: - The first family of natural complete problems for unitary coRQL, i.e., space-bounded quantum state certification for trace distance and Hilbert-Schmidt distance; - A new family of natural complete problems for BQL, i.e., space-bounded quantum state testing for trace distance, Hilbert-Schmidt distance, and quantum entropy difference. In the space-bounded quantum state testing problem, we consider two logarithmic-qubit quantum circuits (devices) denoted as $Q_0$ and $Q_1$, which prepare quantum states $ρ_0$ and $ρ_1$, respectively, with access to their ``source code''. Our goal is to decide whether $ρ_0$ is $ε_1$-close to or $ε_2$-far from $ρ_1$ with respect to a specified distance-like measure. Interestingly, unlike time-bounded state testing problems, our results reveal that the space-bounded state testing problems all correspond to the same class. Moreover, our algorithms on the trace distance inspire an algorithmic Holevo-Helstrom measurement, implying QSZK is in QIP(2) with a quantum linear-space honest prover. Our results primarily build upon a space-efficient variant of the quantum singular value transformation (QSVT) introduced by Gilyén, Su, Low, and Wiebe (STOC 2019), which is of independent interest. Our technique provides a unified approach for designing space-bounded quantum algorithms. Specifically, we show that implementing QSVT for any bounded polynomial that approximates a piecewise-smooth function incurs only a constant overhead in terms of the space required for special forms of the projected unitary encoding.

研究动机与目标

• 表征有限量子比特下有空间限制的量子计算的计算能力。
• 在量子态测试框架中，识别coRQL（单边误差）和BQL（双边误差）的自然且完备的问题。
• 通过量子态测试统一并简化有空间限制的量子计算的复杂度表征。
• 通过对数空间Karp归约建立迹距离、希尔伯特-施密特距离和熵差的紧致完备性结果。

提出的方法

• 针对有界且分段光滑函数，开发一种基于平均切比雪夫截断的空间高效量子奇异值变换（QSVT）变体。
• 将空间高效的QSVT应用于仅引入常数空间开销的投影酉编码。
• 通过平均切比雪夫截断的多项式逼近，实现如符号函数和归一化对数函数等函数的QSVT。
• 构建能够以有界误差准备纯化态并模拟目标函数的量子电路，且仅使用对数空间。
• 利用对数空间Karp归约证明态测试问题在BQL和coRQL中的难解性。
• 整合误差缩减技术与基于函数光滑性的范数界，以确保空间效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 有空间限制的量子计算在单边误差（coRQL）下的自然完备问题是什么？
• RQ2 有空间限制的态测试问题在迹距离、希尔伯特-施密特距离和熵差下与BQL有何关系？
• RQ3 能否为仅引入常数空间开销的分段光滑函数构造空间高效的QSVT？
• RQ4 在有空间限制的设置下，这些距离度量下的量子态测试是否与态制备一样容易？
• RQ5 在不同距离度量下，有空间限制的量子态测试的复杂度是什么？

主要发现

• CertQSDlog和CertQHSlog在coRQL中完备，为有空间限制的量子计算提供了自然的单边误差问题。
• GapQSDlog、GapQHSlog和GapQEDlog均属于BQL，表明这些度量下的有空间限制态测试与态制备一样容易。
• GapQSDlog是BQUL-hard，GapQJSlog和GapQEDlog也是BQUL-hard，确立了紧致的复杂度界限。
• 空间高效的QSVT构造在有界多项式逼近分段光滑函数时仅引入常数空间开销。
• 从GapQSDlog到GapQJSlog和GapQEDlog的归约证实了这些问题在对数空间Karp归约下的完备性。
• 结果表明，有空间限制的态测试在计算上并不比态制备更难，这与时间限制下的情形不同，后者为QSZK或BQP-完全。