[论文解读] Space Complexity Dichotomies for Subgraph Finding Problems in the Streaming Model

Yu‐Shan Shih, Meng-Tsung Tsai+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2026

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 0

一句话总结

该论文在插入式流式处理中基于 Turán 型极值界与通信复杂性化简，建立了四种子图发现变体的完整空间使用二分法。

ABSTRACT

We study the space complexity of four variants of the standard subgraph finding problem in the streaming model. Specifically, given an $n$-vertex input graph and a fixed-size pattern graph, we consider two settings: undirected simple graphs, denoted by $G$ and $H$, and oriented graphs, denoted by $\vec{G}$ and $\vec{H}$. Depending on the setting, the task is to decide whether $G$ contains $H$ as a subgraph or as an induced subgraph, or whether $\vec{G}$ contains $\vec{H}$ as a subgraph or as an induced subgraph. Let Sub$(H)$, IndSub$(H)$, Sub$(\vec{H})$, and IndSub$(\vec{H})$ denote these four variants, respectively. An oriented graph is well-oriented if it admits a bipartition in which every arc is oriented from one part to the other, and a vertex is non-well-oriented if both its in-degree and out-degree are non-zero. For each variant, we obtain a complete dichotomy theorem, briefly summarized as follows. (1) Sub$(H)$ can be solved by an $ ilde{O}(1)$-pass $n^{2-Ω(1)}$-space algorithm if and only if $H$ is bipartite. (2) IndSub$(H)$ can be solved by an $ ilde{O}(1)$-pass $n^{2-Ω(1)}$-space algorithm if and only if $H \in \{P_3, P_4, co\mbox{-}P_3\}$. (3) Sub$(\vec{H})$ can be solved by a single-pass $n^{2-Ω(1)}$-space algorithm if and only if every connected component of $\vec H$ is either a well-oriented bipartite graph or a tree containing at most one non-well-oriented vertex. (4) IndSub$(\vec{H})$ can be solved by an $ ilde{O}(1)$-pass $n^{2-Ω(1)}$-space algorithm if and only if the underlying undirected simple graph $H$ is a $co\mbox{-}P_3$.

研究动机与目标

• 研究在流设置下固定模式子图发现的空间复杂度动机。
• 刻画四个问题变体：Sub(H)、IndSub(H)、Sub(vec{H})、IndSub(vec{H}) 的精确空间与传递次数权衡。
• 将极值图论（Turán 数）与通信复杂性联系到流式下界，并提供构造性上界。
• 识别决定可处理范围的结构性图性质（二部性、良好定向性、森林，以及 NWOC/C3）.

提出的方法

• 通过将来自 Multi-Disjointness 与 Set-Disjointness 等通信问题的还原用于流模型来推导下界。
• 利用 Turán 型 ex(n,H) 上界来确立空间下界，并识别何时 ex(n,H) 能给出亚二次空间。
• 通过设计多遍或单遍流算法，在特定图类下以 ex(n,H) 量级或更好实现上界。
• 引入稀疏证书，如小森林保存证书，以在森林样式模式下实现近线性空间。
• 利用颜色编码与分批技术，在选定的诱导/无向情形下实现亚二次空间。
• 提供一个完整的二分表，连接问题变体、模式结构与可达到的空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在插入中流式模型下，对于在 n 顶点图 G 中发现固定模式 H，精确的空间复杂度权衡是什么？
• RQ2 Sub(H) 何时具有亚二次空间（n^{2-Ω(1)}）而需要接近二次的空间？H 的二部性如何影响？
• RQ3 对于 IndSub(H) 与 IndSub(vec{H})，哪些模式图 H 在 tilde{O}(n) 的子线性空间或近线性空间算法在 tilde{O}(1) 次遍数中存在？
• RQ4 在有向设置中，良定向（WO）与非良定向（NWO）组件如何影响 Sub(vec{H}) 与 IndSub(vec{H}) 的空间与遍数需求？
• RQ5 哪些结构性图性质（森林、NWOC、直径、Δ'）在四个变体中能产生高效的流处理算法？

主要发现

• Sub(H) 在 H 为二部图时需要 tilde{O}(1) 遍数、n^{2−Ω(1)} 空间；而 H 为非二部图时存在 tilde{Ω}(n^{2}/p) 的下界。
• IndSub(H) 在大多数 H 上具备 tilde{O}(1) 遍数、n^{2−Ω(1)} 空间，例外 {P3, P4, co-P3} 允许 tilde{O}(n) 空间。
• Sub(vec{H}) 在单遍中若 H 的任一分量非 WO，或为具有至多一个 NWO 顶点的树，则下界为 tilde{Ω}(n^{2})；若为森林情况，则可以达到 tilde{O}(n) 空间。
• IndSub(vec{H}) 很困难（tilde{Ω}(n^{2}) 空间），除非例外的 co-P3 情形在 p = tilde{O}(1) 时允许 tilde{O}(n) 空间。
• 论文还引入小森林保存证书，在单遍设置下实现森林样的 H 的 tilde{O}(n) 空间。
• 结果提供四个变体及有向/无向图的完整空间/遍数二分法集合。