[论文解读] Space-efficient Algorithms for Visibility Problems in Simple Polygon

Minati De, Anil Maheshwari+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文提出了一类空间效率高的算法，用于解决简单多边形中的可见性问题，实现了计算点可见多边形、线段弱可见性以及最小路径段数路径的 O(1) 额外工作空间。点可见性算法的时间复杂度为 O(n)，最小路径段数路径算法的时间复杂度为 O(kn)，其中一种原地变体修改了输入数组，另一种则在只读输入上使用 O(√n) 空间，解决了常数工作空间计算几何中的开放问题。

ABSTRACT

Given a simple polygon $P$ consisting of $n$ vertices, we study the problem of designing space-efficient algorithms for computing (i) the visibility polygon of a point inside $P$, (ii) the weak visibility polygon of a line segment inside $P$ and (iii) the minimum link path between a pair of points inside $P$. For problem (i) two algorithms are proposed. The first one is an in-place algorithm where the input array may be lost. It uses only O(1) extra space apart from the input array. The second one assumes that the input is given in a read-only array, and it needs $O(\sqrt{n})$ extra space. The time complexity of both the algorithms are O(n). For problem (ii), we have assumed that the input polygon is given in a read-only array. Our proposed algorithm runs in $O(n^2)$ time using O(1) extra space. For problem (iii) the time and space complexities of our proposed algorithm are $O(kn)$ and O(1) respectively; $k$ is the length (number of links) in a minimum link path between the given pair of points.

研究动机与目标

• 在严格内存限制下，设计用于简单多边形中可见性问题的空间高效算法。
• 解决一个开放问题：当输入为只读时，是否能在常数工作空间下以亚二次时间复杂度完成可见性计算。
• 为可见多边形、线段的弱可见性以及最小路径段数路径计算提供原地和只读算法。
• 在最小化工作空间使用至 O(1) 或 O(√n) 的同时，实现最优时间复杂度 O(n) 或 O(kn)。

提出的方法

• 一种原地算法（Inplace_Visibility）通过在输入数组内维护一个栈，并利用索引变量和角度缓冲区追踪角度关系，仅使用 O(1) 额外空间计算可见多边形。
• 一种只读算法（Readonly_Visibility）通过两阶段遍历，结合角度比较和输入数组内的栈模拟，使用 O(√n) 额外空间和 O(n) 时间。
• 对于线段的弱可见性，该算法采用两阶段方法：首先计算一条将源点和目标点分离的弦，然后通过角度和边交点检查迭代优化可见边界。
• 对于最小路径段数路径，该算法沿多边形边界（Π 和 Π′）进行双路径遍历，交替更新一条可见线 L 并计算分离 s 和 t 的弦，通过迭代优化找到第一个可见边。
• 这些算法依赖于几何观察，例如可见性丧失的顺序和角度单调性，以在空间约束下保证正确性。
• 关键数据结构包括基于索引的栈模拟、角度追踪（Φ 和 Ψ），以及迭代的边交点检查，用于计算可见边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能以 O(n) 时间复杂度和 O(1) 额外空间在简单多边形中计算点的可见多边形？
• RQ2 当多边形以只读数组形式给出时，是否能以 O(n²) 时间复杂度和 O(1) 额外空间计算线段的弱可见多边形？
• RQ3 是否能以 O(kn) 时间复杂度和 O(1) 额外空间计算两点之间的最小路径段数路径，其中 k 为路径中的段数？
• RQ4 在只读输入的常数工作空间模型下，是否可能实现可见性计算的亚二次时间复杂度？

主要发现

• 一种原地算法在 O(n) 时间和 O(1) 额外空间内计算点的可见多边形，但会修改输入多边形且无法恢复。
• 一种只读算法在 O(n) 时间内使用 O(√n) 额外空间计算相同的可见多边形，保留了输入数组。
• 一种 O(n²) 时间、O(1) 空间的算法从只读输入数组中计算简单多边形内线段的弱可见多边形。
• 一种 O(kn) 时间、O(1) 空间的算法计算简单多边形内两点之间的最小路径段数路径，其中 k 为路径中的段数。
• 所提出的算法通过在常数工作空间下实现点可见性的 O(n) 时间复杂度，解决了计算几何中的一个开放问题，优于以往的 O(n²) 上限。
• 在严格空间约束下，这些算法正确且高效，依赖于角度排序和可见性丧失序列等几何不变量。