[论文解读] Space-Efficient Fault-Tolerant Diameter Oracles

Davide Bilò, Sarel Cohen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2021

Distributed systems and fault tolerance被引用 3

一句话总结

本文提出了在边失效情况下的空间高效容错直径oracle（FDO），适用于有向图和无向图。针对无权有向图，提出了一种(1+ε)-近似FDO，其预处理时间接近最优，空间复杂度为O(m)，与一个条件性下界一致；针对无向加权图，给出了一个f-FDO，其拼接度为(f+2)，空间复杂度为O(fn)，且预处理效率高。该工作建立了紧致的信息论空间下界，表明当拼接度小于3/2时，子线性空间是不可能的。

ABSTRACT

We design $f$-edge fault-tolerant diameter oracles ($f$-FDOs). We preprocess a given graph $G$ on $n$ vertices and $m$ edges, and a positive integer $f$, to construct a data structure that, when queried with a set $F$ of $|F| \leq f$ edges, returns the diameter of $G-F$. For a single failure ($f=1$) in an unweighted directed graph of diameter $D$, there exists an approximate FDO by Henzinger et al. [ITCS 2017] with stretch $(1+\varepsilon)$, constant query time, space $O(m)$, and a combinatorial preprocessing time of $\widetilde{O}(mn + n^{1.5} \sqrt{Dm/\varepsilon})$.We present an FDO for directed graphs with the same stretch, query time, and space. It has a preprocessing time of $\widetilde{O}(mn + n^2/\varepsilon)$. The preprocessing time nearly matches a conditional lower bound for combinatorial algorithms, also by Henzinger et al. With fast matrix multiplication, we achieve a preprocessing time of $\widetilde{O}(n^{2.5794} + n^2/\varepsilon)$. We further prove an information-theoretic lower bound showing that any FDO with stretch better than $3/2$ requires $\Omega(m)$ bits of space. For multiple failures ($f>1$) in undirected graphs with non-negative edge weights, we give an $f$-FDO with stretch $(f+2)$, query time $O(f^2\log^2{n})$, $\widetilde{O}(fn)$ space, and preprocessing time $\widetilde{O}(fm)$. We complement this with a lower bound excluding any finite stretch in $o(fn)$ space. We show that for unweighted graphs with polylogarithmic diameter and up to $f = o(\log n/ \log\log n)$ failures, one can swap approximation for query time and space. We present an exact combinatorial $f$-FDO with preprocessing time $mn^{1+o(1)}$, query time $n^{o(1)}$, and space $n^{2+o(1)}$. When using fast matrix multiplication instead, the preprocessing time can be improved to $n^{\omega+o(1)}$, where $\omega < 2.373$ is the matrix multiplication exponent.

研究动机与目标

• 设计空间高效的静态数据结构，以在最多f条边失效后快速报告图的直径。
• 探索容错直径oracle中空间、拼接度、查询时间和预处理时间之间的权衡。
• 建立任何具有有限拼接度的FDO所需空间的信息论下界。
• 在组合算法和基于矩阵乘法的算法中，实现接近最优的预处理时间和空间性能。
• 证明对于具有多对数直径的图，精确FDO可使用子二次空间和近乎常数的查询时间构建。

提出的方法

• 通过在每对顶点的边失效下，对替代路径使用递归树结构，构建容错直径oracle（FDO）。
• 将距离敏感oracle（DSO）作为子程序，用于计算最多f条边失效下的替代路径。
• 使用哈希表聚合并存储所有失效集合子集的替代距离，以实现常数时间的查询访问。
• 对Weimann-Yuster技术进行精细化分析，以控制oracle的大小并控制查询时间。
• 利用快速矩阵乘法，将(1+ε)-近似FDO的预处理时间优化至Õ(n^2.5794 + n^2/ε)，接近理论极限。
• 通过组合构造方法编码子图连通性，推导出空间下界，证明o(fn)空间不足以支持有限拼接度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无向无权图中，容错直径oracle的最小空间需求是多少，当其拼接度σ < 3/2时？
• RQ2 是否可以构建一个(1+ε)-近似FDO，用于单边失效，其预处理时间与组合算法的条件性下界一致？
• RQ3 对于具有多对数直径的图，是否可以实现子二次空间和近乎常数查询时间的精确FDO？
• RQ4 在无向加权图中，f边容错直径oracle的拼接度、空间和预处理时间之间存在怎样的权衡？
• RQ5 我们能否证明在无向图中，任何拼接度优于3/2的FDO都无法使用o(m)空间？

主要发现

• 对于无权有向图，(1+ε)-近似FDO的预处理时间为Õ(mn + n²/ε)，几乎与Henzinger等人针对组合算法的条件性下界一致。
• 在相同设置下，利用快速矩阵乘法，预处理时间可提升至Õ(n^2.5794 + n²/ε)，接近理论极限。
• 通过信息论下界证明，任何拼接度σ < 3/2的FDO在无向无权图中至少需要Ω(m)比特空间，表明所提出的FDO在空间上近乎最优。
• 对于无向加权图中f ≥ 1条边失效的情况，本文构建了一个f-FDO，其拼接度为(f+2)，空间复杂度为Õ(fn)，查询时间为O(f² log²n)，预处理时间为Õ(fm)。
• 对于具有多对数直径且f = o(log n / log log n)条边失效的图，构建了一个精确的组合f-FDO，其预处理时间为mn^1+o(1)，查询时间为n^o(1)，空间复杂度为n^2+o(1)。
• 下界结果表明，任何具有有限拼接度的f-FDO都无法使用o(fn)空间，证明了所提f-FDO在空间效率上渐近最优。